Ostrosłup prawidłowy czworokątny.

[Prz33mus]

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego objętość jest równa 128 cm³, a jego wysokość to 16 cm. Krawędź boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Na lekcji wyznaczyliśmy krawędź podstawy podstawiając wartości do wzoru na ostrosłup (i na tym zakończyliśmy przez koniec lekcji).

W domu zacząłem się zastanawiać czy można byłoby wyznaczyć wartość krawędzi podstawy poprzez funkcję trygonometryczną, „wyciągając” trójkąt równoboczny z ostrosłupa.

Przepraszam za głupie pytanie, ale nie jestem najwybitniejszy z matematyki, a jestem po prostu ciekawy.

Jedna z przyprostokątnych miałaby długość 16 (wysokość ostrosłupa), a druga ½d (skoro w podstawie ma kwadrat, to ta przyprostokątna byłaby połową przekątnej).

Czy w tym przypadku można zapisać, że ½d=a√2, więc d=2a√2, a następnie policzyć a (krawędź podstawy) z tangensa np. 30°?

Próbowałem obliczyć to funkcją trygonometryczną, ale wynik wychodzi mi inny niż ten w szkole. Czy to ja coś źle rozumiem, czy nie można tego „a” obliczyć w ten sposób?

[janusz55]

Z równania na objętość ostrosłupa:

\( |V| = \frac{1}{3 }a^2 \cdot H = \frac{1}{3} a^2 \cdot 16 cm = 128 cm^{3}, \)

obliczamy pole podstawy \( |P_{p}| = a^2 = ... cm^2. \)

Długość krawędzi podstawy \( |a| = \sqrt{a^2} \ \ cm. \)

Z trójkąta prostokątnego: \( (H, a/2, h) \) rys. obliczamy długość wysokości ściany bocznej \( sin(30)^{o} = \frac{H}{h}, \ \ h = \frac{H}{\sin(30^{o})} \ \ cm. \)

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa \( |P_{b}| = 4\cdot \frac{1}{a}\cdot h = 2a\cdot h \ \ cm^2.\)

Pole powierzchni całkowitej \( |P| = (|P_{p}| + |P_{b}|) \ \ cm^2.\)