Dzień dobry, mam problem z zadaniem:
Pewien mikroprocesor podczas wykonywania operacji robi błąd w obliczeniach
z prawdopodobieństwem \( p = 10^{−4}\). Niech n będzie liczby operacji wykonanej przez ten
mikroproprocesor, a \(p_n\) odsetkiem błędnych operacji. Jak duże powinno być \(n\), aby
\(P(\frac{|p_n − p|}{p}> 0, 1)≤ 0, 07\)
Z góry dziękuję za pomoc
Rachunek prawdopodobieństwa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1583
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 414 razy
Re: Rachunek prawdopodobieństwa
Dobry Wieczór
Błędy podczas pracy procesora modelujemy rozkładem Bernoulliego \( \mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(n, 10^{-4}).\)
Mamy obliczyć jak duża powinna być liczba operacji wykonywanych przez ten procesor \( n, \) aby prawdopodobieństwo zdarzenia \( \left\{ \frac{|p_{n}-p|}{p} >0,1\right\} \) było mniejsze od \( 0,07 \) lub równe.
Przekształcamy zdarzenie do takiej postaci, która pozwoli nam zastosować nierówność Pafnutija Czebyszewa
\( \left\{ \frac{|p_{n}-p|}{p} >0,1\right\} = \left\{\frac{p_{n}}{p} -1 >0,1\right\} = \left\{\frac{p_{n}}{p}> 1,1 \right\}= \left\{ p_{n} >1,1\cdot p \right\} \)
\( P\left( \frac{p_{n}}{n} - p > \frac{1,1\cdot p}{n} -p = \frac{1,1p -n\cdot p}{n} \right) \)
\( X = \frac{p_{n}}{n}, \ \ E(X) = \frac{n\cdot p}{n} = p, \ \ D^2(X) = \frac{np\cdot (1-p)}{n^2} = \frac{p\cdot (1-p)}{n}. \)
Z nierówności P. Czebyszewa dla każdego \( \varepsilon =\frac{1,1p -n\cdot p}{n}>0 \)
\( P\left( \frac{p_{n}}{n}-p > \frac{1,1p -n\cdot p}{n}\right) = P\left( X -E(X) > \frac{1,1p -n\cdot p}{n}\right) \leq \frac{\frac{p(1-p)}{n}}{\left(\frac{1,1p-n\cdot p}{n}\right)^2} = \frac{n(1-p)}{p(1,1-n)^2} \leq 0,07 \)
Stąd
\( \frac{n\cdot (1 -10^{-4})}{10^{-4}\cdot (1,1-n)^2} \leq 0,07. \)
Rozwiązaniem nierówności \( n \geq 142845. \)
Odpowiedź: \( n \geq 142845. \)
Błędy podczas pracy procesora modelujemy rozkładem Bernoulliego \( \mathcal{B}(n, p) = \mathcal{B}(n, 10^{-4}).\)
Mamy obliczyć jak duża powinna być liczba operacji wykonywanych przez ten procesor \( n, \) aby prawdopodobieństwo zdarzenia \( \left\{ \frac{|p_{n}-p|}{p} >0,1\right\} \) było mniejsze od \( 0,07 \) lub równe.
Przekształcamy zdarzenie do takiej postaci, która pozwoli nam zastosować nierówność Pafnutija Czebyszewa
\( \left\{ \frac{|p_{n}-p|}{p} >0,1\right\} = \left\{\frac{p_{n}}{p} -1 >0,1\right\} = \left\{\frac{p_{n}}{p}> 1,1 \right\}= \left\{ p_{n} >1,1\cdot p \right\} \)
\( P\left( \frac{p_{n}}{n} - p > \frac{1,1\cdot p}{n} -p = \frac{1,1p -n\cdot p}{n} \right) \)
\( X = \frac{p_{n}}{n}, \ \ E(X) = \frac{n\cdot p}{n} = p, \ \ D^2(X) = \frac{np\cdot (1-p)}{n^2} = \frac{p\cdot (1-p)}{n}. \)
Z nierówności P. Czebyszewa dla każdego \( \varepsilon =\frac{1,1p -n\cdot p}{n}>0 \)
\( P\left( \frac{p_{n}}{n}-p > \frac{1,1p -n\cdot p}{n}\right) = P\left( X -E(X) > \frac{1,1p -n\cdot p}{n}\right) \leq \frac{\frac{p(1-p)}{n}}{\left(\frac{1,1p-n\cdot p}{n}\right)^2} = \frac{n(1-p)}{p(1,1-n)^2} \leq 0,07 \)
Stąd
\( \frac{n\cdot (1 -10^{-4})}{10^{-4}\cdot (1,1-n)^2} \leq 0,07. \)
Rozwiązaniem nierówności \( n \geq 142845. \)
Odpowiedź: \( n \geq 142845. \)