Trapez - dowód
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 139
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 589 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Trapez - dowód
Dany jest trapez o podstawach a i b opisany na okręgu o promieniu r. Wykaż, \(4r^2 \le ab\).
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Trapez - dowód
Fakty, które wykorzystam a które znasz (?):
\[\begin{cases}r=\sqrt{tz}\\ r=\sqrt{xy}\end{cases}\]
Zatem
\[L_T= 4r^2=4\sqrt{tz}\cdot\sqrt{xy}=4\sqrt{xyzt}=2\sqrt{tx}\cdot2\sqrt{yz}\nad{\text{z 4.}}{\le}(t+x)(z+y)=ab=P_T\quad \text{CKD} \]
Pozdrawiam
[edited] \(S\) jest środkiem okręgu - zgubiłem na rysunku
- Odcinki stycznych są równej długości.
- Ze środka okręgu wpisanego w trapez jego ramiona są widoczne pod kątem prostym.
- Długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej na przeciwprostokątną jest średnią geometryczną długości odcinków, na które spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną.
- Dla liczb dodatnich \(p,\ q\) zachodzi porządek \(2\sqrt{pg}\le (p+q)\).
\[\begin{cases}r=\sqrt{tz}\\ r=\sqrt{xy}\end{cases}\]
Zatem
\[L_T= 4r^2=4\sqrt{tz}\cdot\sqrt{xy}=4\sqrt{xyzt}=2\sqrt{tx}\cdot2\sqrt{yz}\nad{\text{z 4.}}{\le}(t+x)(z+y)=ab=P_T\quad \text{CKD} \]
Pozdrawiam
[edited] \(S\) jest środkiem okręgu - zgubiłem na rysunku
-
- Fachowiec
- Posty: 1597
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Trapez - dowód
Autor tego zadania przyjął drugą wersję definicji trapezu " czworokąta wypukłego mającego tylko jedną parę boków równoległych".
Dla równoległoboku powyższa równość nie zachodzi.
Oryginalna wersja rozwiązania zadania.
Dla równoległoboku powyższa równość nie zachodzi.
Oryginalna wersja rozwiązania zadania.
-
- Często tu bywam
- Posty: 218
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 17 razy
- Otrzymane podziękowania: 56 razy
- Płeć:
Re: Trapez - dowód
Nierówność. Zachodzi. Napisane jest "opisany na okręgu". Równoległobok może być opisany na okręgu tylko jeśli jest rombem (\(2a=2b\)). Dla rombu podana nierówność zachodzi, więc autor nie musiał przyjmować definicji trapezu niebędącego równoległobokiem.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Trapez - dowód
Proszę o źródło tej wiedzy.
Dokładniej dla dowolnego rombu - równość nie zachodzi, nierówność - zachodzi. Równość zachodzi dla kwadratu , który jest szczególnym przypadkiem trapezu w ogólnie przyjętej, nie niszowej, definicji.
Czego? Tezy zadania - jest wyżej!
Zdrowia!
-
- Często tu bywam
- Posty: 218
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 17 razy
- Otrzymane podziękowania: 56 razy
- Płeć:
Re: Trapez - dowód
Ale tam jest inne zadanie - z równością.janusz55 pisze: ↑29 mar 2024, 07:35 Dzisiaj Wielki Piątek dzień ciemności - nie oświecenia.
https://www.youtube.com/watch?v=uLwDJPmL1sY
-
- Często tu bywam
- Posty: 218
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 17 razy
- Otrzymane podziękowania: 56 razy
- Płeć:
Re: Trapez - dowód
Dowód.
Dla dowolnego rombu mamy \(a=b\). Musimy udowodnić \(4r^2 \le ab\) (bo takie my mamy zadanie - inne niż na yt!). Czyli w rombie mamy pokazać: \(4r^2 \le a^2\).
W rombie zachodzi \(h=2r\) zaś z kąta ostrego rombu możemy zapisać \(\sin \alpha = \frac{h}{a}\), czyli \(h=a\cdot \sin \alpha \), gdzie \(0< \sin \alpha < 1\).
Ostatecznie mamy:
\(4r^2 = \left( 2r\right)^2 = h^2 = a^2\cdot \sin^2 \alpha < a^2 <= a^2\)
Co należało dowieść.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Trapez - dowód
Przykre...
Ale już wiemy, skąd wiedza i wcześniejsze hipotezy o "intencjach autora zadania"
Tylko rozwiązanie spod linku nie jest rozwiązaniem dyskutowanego w tym wątku zadania - porównaj, proszę, treści tych zadań i, ponawiam prośbę, zapoznaj nas ze swoim rozwiązaniem.
Miłego dnia
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Trapez - dowód
Jest jeden pozytyw z tej burzy
Równość zachodzi dla trapezu równoramiennego.
Pozdrawiam
co wynikało w moim dowodzie z równości \(t=x\) i \(z=y\) w nierówności pomiędzy średnimi (4.) i było moją nadinterpretacją. Przepraszam. Powinno być, choć treść zadania tego nie oczekuje,:
Równość zachodzi dla trapezu równoramiennego.
Pozdrawiam
-
- Często tu bywam
- Posty: 218
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 17 razy
- Otrzymane podziękowania: 56 razy
- Płeć:
Re: Trapez - dowód
Jaki jest drugi przypadek? Przecież dowód Jerrego działa również dla równoległoboku (rombu) więc go uwzględnia.