Macierz Gaussa - Gaussa-Seidla

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
hutsaloviaheslav1998
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 140
Rejestracja: 26 lut 2022, 15:16
Podziękowania: 91 razy

Macierz Gaussa - Gaussa-Seidla

Post autor: hutsaloviaheslav1998 »

Mam taką macierz
macierz-gauss.png
i chciałbym ją rozwiązać zarówno metodą Gaussa jak Guasse-Seidla. To co już zrobiłem to odjąłem 3 wiersz od od drugiego i ta macierz wygląda tak:
|3,2,1|4|
|0,1,0|1|
|1,0,2|4|

jaki dalszy krok powinienem podjąć, żeby sie pojawiło 0 w 3 wierszu , pierwszej kolumny.
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1515
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 399 razy

Re: Macierz Gaussa - Gaussa-Seidla

Post autor: janusz55 »

Metoda Gaussa

Macierz układu

\( \begin{bmatrix} 3 &2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)

sprowadzamy do zredukowanej postaci schodkowej operacjami elementarnymi na wierszach.

\( w_{1} \leftrightarrow w_{3} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{bmatrix} \)

\( w_{3} -3w_{1} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -5 & -11 \end{bmatrix} \)

\( w_{3} + w_{2} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -5 & -10 \end{bmatrix} \)

\( w_{3}\cdot \left(\frac{-1}{5}\right) \)

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)

\( w_{1} - 2w_{3} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)

\( w_{1} - w_{2} \)

\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)

\( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1515
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 399 razy

Re: Macierz Gaussa - Gaussa-Seidla

Post autor: janusz55 »

Metoda Gaussa-Seidla

\( \begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+x_{3} = 4 \\ 0x_{1} + x_{2} + 0x_{3} = 1\\ x_{1} +x_{2}+2x_{3} = 5 \end{cases} \)

Stosujemy iteracje do wszystkich równań układu

\( \begin{cases} x_{1}^{(k)} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3}x_{2}^{(k)} -\frac{1}{3}x_{3}^{(k)} \\ x_{2}^{(k)}= 1 \\ x_{3}^{(k)} = \frac{5}{2}- \frac{1}{2}x_{2}^{(k)} \end{cases} \)

W pierwszej iteracji otrzymujemy

\( \begin{cases} x_{1}^{(1)} = \frac{4}{3}- \frac{2}{3}x_{2}^{(1)} - \frac{1}{3}x_{3}^{(1)} \\x_{2}^{(1)} = 1 \\ x_{3}^{(1)} = \frac{5}{2} -\frac{1}{2}x_{2}^{(1)} \end{cases} \)

Stąd

\( \begin{cases} x_{1}^{(1)} = \frac{4}{3} -\frac{2}{3}\cdot 1 - \frac{1}{3} = 0 \\ x_{2}^{(1)} = 1 \\ x_{3}^{(1)} =\frac{5}{2}- \frac{1}{2}\cdot 0 -\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{4}{2} = 2 \end{cases} \)