Rzucamy czterokrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy dokładnie dwie dwójki lub dokładnie dwie piątki. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Ja zrobiłem to w ten sposób i nie wiem dlaczego mi brakuje 6 rozwiązań i nie wiem dlaczego :
dwie 2 możemy wybrać na 4/2 sposoby co daje z kombinacji 12 i jedną piątkę na 2 miejscach możemy ustawić i ostatnią dowolną liczbę na 4 co daje 6*2*4 , potem kolejny przypadek , że mając dwie dwójki , pozostałe 2 liczby są inne niż 2 i 5 co daje 6*4*4 , tam samo z piątkami , 2 piątki i jedna 2 i 1 dowolna liczba to 6*2*4 , dwie piątki i 2 dowolne liczby to daje 6*4*4 a wiec suma :
6*2*4*2+6*4*4*2=288 , a powinno wyjść 294 .
Zadanie z prawdopodobieństwa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
Wiem , że jest takie rozwiązanie , ale nie rozumiem czego tą metodą nie wychodzi jak logika itd. są zachowane , jakich 6 rozwiązań brakuje.
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
Tak jest 6 w obliczeniach , a napisałem 12 , ale ja zrobiłem w ten sam sposób , ale bez odejmowania tylko wypisując te rozwiązania i wychodzi mi 288 przypadków , a powinno być 294 i nie wiem dlaczego wychodzi o 6 mniej , czego brakuje .
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
Mógłbyś mi powiedzieć , co w moim rozwiązaniu jest nie tak , że wynik jest zły ? .
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1548
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 407 razy
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
Luccasso nie mam tak lotnego umysłu jak Twój i trudno mi odpowiedzieć na podstawie Twoich logicznych rozważań, dlaczego brakuje Ci \( 6 \) rozwiązań do szczęścia.
Może prześledźmy to zadanie od początku.
Rzucamy kolejno cztery razy uczciwą sześcienną kostką do gry.
Kolejność wykonywanych rzutów wyznacza nam czwórki uporządkowane.
Na przykład czwórka \( ( 1, 1, 3, 4) \) oznacza że w pierwszym rzucie wypadło 1 oczko w drugim rzucie 1 oczko w trzecim rzucie 3 oczka w czwartym rzucie 4 oczka. Mamy więć cztero-elementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru sześcio-elementowego
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych cztero-krotnego rzutu sześcienną kostką możemy zapisać jako
\( \Omega = \{\omega= (a, b, c, d): \ \ a, b, c, d \in \{1,2,3,4, 5, 6\} \} \)
Jego liczność
\( |\Omega| = W_{6}^{4} = 6^4= 1296.\)
Mamy znaleźć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń \(P( A \cup B) \)
gdzie:
\( A \) - zdarzenie "otrzymano dokładnie dwie dwójki"
\( B \) - zdarzenie " otrzymano dokładnie dwie piątki"
Jak wiemy
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).\)
Obliczamy kolejno liczności zbioru zdarzeń: \( A, B , A\cap B \)
Zauważmy, że zdarzeń z dokładnie dwiema dwójkami jest tyle samo co zdarzeń z dwiema piątkami, co zdarzeń dwiema jedynkami, ... co zdarzeń z dwiema szóstkami.
\(|A|:\)
Kolejność wyrzucenia dwóch dwójek nie ma znaczenia (aby były tylko dwie dwójki) na pozostałych dwóch miejscach mamy pięcio-elementowe wariacje z powtórzeniami (nie kombinacje, bo elementy mogą się powtarzać), więc
\( |A| = { 4 \choose 2}\cdot 5^2 = 6\cdot 25 = 150.\)
Tyle samo wynosi liczność zbioru \( B. \)
Powstaje pytanie, jaka jest liczność zbioru \( A \cap B, \) to znaczy ile jest takich czwórek, w których występują dokładnie dwie dwójki i dokładnie dwie czwórki ?
Tu znowu kolejność nie ma znaczenia, bo mamy mieć dwie dwójki i dwie czwórki w dowolnej kolejności.
Stąd
\( |A\cap B| = {4\choose 2} = \frac{4\cdot 3}{1\cdot 2} = \frac{12}{2}= 6. \)
Podstawiając obliczone liczności zbioru zdarzeń do wzoru na sumę prawdopodobieństwa otrzymujemy:
\( P(A\cup B) = \frac{150}{4096} + \frac{150}{4096} - \frac{6}{1296} = \frac{294}{1296} = \frac{49}{216}.\)
Jeżeli będziemy wykonywali czterokrotny rzut sześcienną kostką, to możemy oczekiwać, że w około \( 23\% \) ogólnej liczby wyników uzyskamy dokładnie dwie dwójki lub dwie piątki.
Może prześledźmy to zadanie od początku.
Rzucamy kolejno cztery razy uczciwą sześcienną kostką do gry.
Kolejność wykonywanych rzutów wyznacza nam czwórki uporządkowane.
Na przykład czwórka \( ( 1, 1, 3, 4) \) oznacza że w pierwszym rzucie wypadło 1 oczko w drugim rzucie 1 oczko w trzecim rzucie 3 oczka w czwartym rzucie 4 oczka. Mamy więć cztero-elementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru sześcio-elementowego
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych cztero-krotnego rzutu sześcienną kostką możemy zapisać jako
\( \Omega = \{\omega= (a, b, c, d): \ \ a, b, c, d \in \{1,2,3,4, 5, 6\} \} \)
Jego liczność
\( |\Omega| = W_{6}^{4} = 6^4= 1296.\)
Mamy znaleźć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń \(P( A \cup B) \)
gdzie:
\( A \) - zdarzenie "otrzymano dokładnie dwie dwójki"
\( B \) - zdarzenie " otrzymano dokładnie dwie piątki"
Jak wiemy
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).\)
Obliczamy kolejno liczności zbioru zdarzeń: \( A, B , A\cap B \)
Zauważmy, że zdarzeń z dokładnie dwiema dwójkami jest tyle samo co zdarzeń z dwiema piątkami, co zdarzeń dwiema jedynkami, ... co zdarzeń z dwiema szóstkami.
\(|A|:\)
Kolejność wyrzucenia dwóch dwójek nie ma znaczenia (aby były tylko dwie dwójki) na pozostałych dwóch miejscach mamy pięcio-elementowe wariacje z powtórzeniami (nie kombinacje, bo elementy mogą się powtarzać), więc
\( |A| = { 4 \choose 2}\cdot 5^2 = 6\cdot 25 = 150.\)
Tyle samo wynosi liczność zbioru \( B. \)
Powstaje pytanie, jaka jest liczność zbioru \( A \cap B, \) to znaczy ile jest takich czwórek, w których występują dokładnie dwie dwójki i dokładnie dwie czwórki ?
Tu znowu kolejność nie ma znaczenia, bo mamy mieć dwie dwójki i dwie czwórki w dowolnej kolejności.
Stąd
\( |A\cap B| = {4\choose 2} = \frac{4\cdot 3}{1\cdot 2} = \frac{12}{2}= 6. \)
Podstawiając obliczone liczności zbioru zdarzeń do wzoru na sumę prawdopodobieństwa otrzymujemy:
\( P(A\cup B) = \frac{150}{4096} + \frac{150}{4096} - \frac{6}{1296} = \frac{294}{1296} = \frac{49}{216}.\)
Jeżeli będziemy wykonywali czterokrotny rzut sześcienną kostką, to możemy oczekiwać, że w około \( 23\% \) ogólnej liczby wyników uzyskamy dokładnie dwie dwójki lub dwie piątki.
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
Tą metodę rozwiązania zadania jak najbardziej rozumiem , ale nie wiem dlaczego moim sposobem wychodzi 288 takich możliwości a powinno być 294 , jak wydaje mi się , że wszystko jest w porządku rozpisane.janusz55 pisze: ↑25 mar 2024, 10:15 Luccasso nie mam tak lotnego umysłu jak Twój i trudno mi odpowiedzieć na podstawie Twoich logicznych rozważań, dlaczego brakuje Ci \( 6 \) rozwiązań do szczęścia.
Może prześledźmy to zadanie od początku.
Rzucamy kolejno cztery razy uczciwą sześcienną kostką do gry.
Kolejność wykonywanych rzutów wyznacza nam czwórki uporządkowane.
Na przykład czwórka \( ( 1, 1, 3, 4) \) oznacza że w pierwszym rzucie wypadło 1 oczko w drugim rzucie 1 oczko w trzecim rzucie 3 oczka w czwartym rzucie 4 oczka. Mamy więć cztero-elementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru sześcio-elementowego
Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych cztero-krotnego rzutu sześcienną kostką możemy zapisać jako
\( \Omega = \{\omega= (a, b, c, d): \ \ a, b, c, d \in \{1,2,3,4, 5, 6\} \} \)
Jego liczność
\( |\Omega| = W_{6}^{4} = 6^4= 1296.\)
Mamy znaleźć prawdopodobieństwo sumy zdarzeń \(P( A \cup B) \)
gdzie:
\( A \) - zdarzenie "otrzymano dokładnie dwie dwójki"
\( B \) - zdarzenie " otrzymano dokładnie dwie piątki"
Jak wiemy
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).\)
Obliczamy kolejno liczności zbioru zdarzeń: \( A, B , A\cap B \)
Zauważmy, że zdarzeń z dokładnie dwiema dwójkami jest tyle samo co zdarzeń z dwiema piątkami, co zdarzeń dwiema jedynkami, ... co zdarzeń z dwiema szóstkami.
\(|A|:\)
Kolejność wyrzucenia dwóch dwójek nie ma znaczenia (aby były tylko dwie dwójki) na pozostałych dwóch miejscach mamy pięcio-elementowe wariacje z powtórzeniami (nie kombinacje, bo elementy mogą się powtarzać), więc
\( |A| = { 4 \choose 2}\cdot 5^2 = 6\cdot 25 = 150.\)
Tyle samo wynosi liczność zbioru \( B. \)
Powstaje pytanie, jaka jest liczność zbioru \( A \cap B, \) to znaczy ile jest takich czwórek, w których występują dokładnie dwie dwójki i dokładnie dwie czwórki ?
Tu znowu kolejność nie ma znaczenia, bo mamy mieć dwie dwójki i dwie czwórki w dowolnej kolejności.
Stąd
\( |A\cap B| = {4\choose 2} = \frac{4\cdot 3}{1\cdot 2} = \frac{12}{2}= 6. \)
Podstawiając obliczone liczności zbioru zdarzeń do wzoru na sumę prawdopodobieństwa otrzymujemy:
\( P(A\cup B) = \frac{150}{4096} + \frac{150}{4096} - \frac{6}{1296} = \frac{294}{1296} = \frac{49}{216}.\)
Jeżeli będziemy wykonywali czterokrotny rzut sześcienną kostką, to możemy oczekiwać, że w około \( 23\% \) ogólnej liczby wyników uzyskamy dokładnie dwie dwójki lub dwie piątki.
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
Nie mam pojęcia , czego brakuje , albo co jest źle w mojej metodzie.
-
Tulio
- Często tu bywam
- Posty: 196
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 16 razy
- Otrzymane podziękowania: 49 razy
- Płeć:
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
Napisałeś:
dwie 2 możemy wybrać na 4/2 sposoby co daje z kombinacji 12
Podczas gdy: \( {4 \choose 2} = 6\)
Re: Zadanie z prawdopodobieństwa
Po prostu źle napisałem , w obliczeniach masz przemnożone przez 6 , to jest właśnie z 4/2 kombinacji wynik