Ma ktoś pomysł na to zadanie?

[zadaniainfomm]

Ma ktoś szybki pomysł na to zadanie?

[Jerry]

Nie wiem, czy szybki i ładny, ale...
Z dokładnością do podobieństwa przyjmijmy, że \(|AD|=|DC|=CB|=1;\ |\angle BAD|=\alpha\) i

1. Z \(\Delta DBC\):
   • i tw. Carnota:
     \(|DB|=\sqrt{2-2\cos130^\circ}\)
   • \(|\angle BDC|=25^\circ\)
2. \(|\angle ADB|=85^\circ\)
3. Z \(\Delta ABD\):
   • i tw. Carnota:
     \(|AB|=\sqrt{3-2\cos130^\circ-2\sqrt{2-2\cos130^\circ}\cos85^\circ}\)
   • i tw. Snelliusa:
     \(\dfrac{\sqrt{2-2\cos130^\circ}}{\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt{3-2\cos130^\circ-2\sqrt{2-2\cos130^\circ}\cos85^\circ}}{\sin85^\circ}\\
     \alpha=\arcsin\dfrac{\sqrt{2-2\cos130^\circ}\cdot\sin85^\circ}{\sqrt{3-2\cos130^\circ-2\sqrt{2-2\cos130^\circ}\cos85^\circ}}\)
4. \(|\angle ABC|=120^\circ-\alpha=\ldots\)

Pozdrawiam

[zadaniainfomm]

To zadanie z matury podstawowej ....

[Jerry]

Zrobiłem schludny rysunek, niech boki równej długości są \(a\) długie i \(S\) będzie punktem wspólnym przekątnych..

1. Postawiłem hipotezę, że \(\Delta ABS\) jest równoramienny
2. Wyznaczyłem, które mogłem, miary kątów,
3. z \(\Delta ASD\) i tw. Snelliusa:
   \(\dfrac{|AS|}{\sin85^\circ}=\dfrac{a}{\sin60^\circ}\),
4. z \(\Delta SBC\) i tw. Snelliusa:
   \(\dfrac{|SB|}{\sin95^\circ}=\dfrac{a}{\sin60^\circ}\).
5. Wobec
   \(\sin85^\circ=\cos5^\circ=\sin95^\circ\)
   hipoteza jest prawdziwa i
   \(|\angle SAB|=|\angle \color{red}{SBA}|=30^\circ\)
   skąd odpowiedź:
   \(|\angle DAB|=65^\circ,\ |\angle CBA|=55^\circ\)

Sytuacja z 5. jest szczególna - związana z konkretnymi danymi miarami . Moje poprzednie rozwiązanie jest ogólniejsze, chociaż jest do końca poprawne tylko dla \(\alpha\) kąta ostrego, gdyby mógł być rozwarty - w ostatnim punkcie powinno być jeszcze raz tw. Carnota!

Pozdrawiam
PS. Z jakiego to, jeśli mogę zapytać, arkusza? Byłbym zainteresowany całym!

[edited] poprawka po poniższym

[zadaniainfomm]

Nie wiem z jakiego to arkusza bo przyniósł mi to zadanie maturzysta

[Tulio]

\(|\angle SAB|=|\angle BAS|=30^\circ\)

Chyba literówka

Rozwiązanie trywialne (tzn. bez twierdzeń sinusów/cosinusów) - zaznaczamy wszystkie kąty (jak w drugim rozwiazaniu Jerry'ego) i prowadzimy dwusieczne z punktu przecięcia przekątnych. Mamy:

(Kąty tego samego koloru są równe)
Mamy:
\(\frac{|EF|}{|ED|} = \frac{|EC|}{|EB|}\)
\(|EB| = \frac{|EC|\cdot|ED|}{|EF|}\)
podobnie:
\(|EA| = \frac{|EC|\cdot|ED|}{|EF|}\)
stąd równoramienność.

PS. @zadaniainfomm - też jestem zainteresowany arkuszem, może zapytasz tego maturzystę?

[janusz55]

Ile wynoszą kąty \( \alpha \) i \( \beta? \) Wiemy z rysunku , że ich suma \( \alpha + \beta = 60^{o}\)

[Tulio]

A z dowodu równoramienności trójkąta \(ABE\) da się wywnioskować ile wynoszą.

[janusz55]

Ale czy ten trójkąt jest równoramienny ?

[Tulio]

Ale czy ten trójkąt jest równoramienny ?

A możesz przeczytać tekst pod moim obrazkiem, który tego dowodzi bądź też dowód (właśnie tego faktu) Jerrego?

[janusz55]

Trójkąt byłby równoramienny, gdyby

\( DC\parallel AB. \)

[Tulio]

Trójkąt byłby równoramienny, gdyby

\( DC\parallel AB. \)

Proszę się wyspać. Użyłem podobieństwa trójkątów by dowieść, że trójkąt \(ABE\) jest równoramienny. Również @Jerry dowiódł jego równoramienności. Gdzie niby załamują się nasze dowody?

[Tulio]

Przecież ten trójkąt wyraźnie jest równoramienny. Przyjmijmy \(a=|BC|=|AD|\)
Mamy \(\frac{|EB|}{\sin{95^\circ}}=\frac{a}{\sin{60^\circ}} \So |EB|=\frac{a\cdot\sin{95^\circ}}{\sin{60^\circ}}\)
oraz \(\frac{|EA|}{\sin{85^\circ}}=\frac{a}{\sin{60^\circ}} \So |EA|=\frac{a\cdot\sin{85^\circ}}{\sin{60^\circ}}\)
Wobec \(\sin{95^\circ} = \sin{85^\circ}\) zachodzi \(|EB|=|EA|\) i trójkąt jest równoramienny.

[anka]

Dorysowałam kilka kątów.

To rozwiązanie jest ok.

(Kąty tego samego koloru są równe)
Mamy:
\(\frac{|EF|}{|ED|} = \frac{|EC|}{|EB|}\)
\(|EB| = \frac{|EC|\cdot|ED|}{|EF|}\)
podobnie:
\(|EA| = \frac{|EC|\cdot|ED|}{|EF|}\)
stąd równoramienność.

Trójkąty DEF i EBC są podobne (kkk).
Trójkąty ECF i AED są podobne (kkk).

[janusz55]

I co z tego, że są podobne mając równe kąty ? A jakie kąty ma trójkąt ABE ?