znajdź resztę z wielomianu

[ilmarinen]

Znajdź resztę z dzielenia \[W(x)\] przez \[x^2+6x+5\] wiedząc ze reszta dzielenia wielomianu\[ W(x)\] przez dwumian \[P(x)=x^2+1 \]jest równa \[3 \]oraz ze liczba \[-5\] jest pierwiastkiem wielomianu \[W(x)\]

[Tulio]

Normalnie:
\(W \left( x\right) = P\left( x\right) \left( x^2+6x+5\right) +ax+b = P\left( x\right) \left( x+5 \right) \left( x+1\right) +ax+b \)
Warunek \(W \left( -5 \right) = 0\) oznacza tyle, że \(W \left( x\right) \) dzieli się bez reszty przez \(\left( x+5\right) \)
Drugi warunek:
\(W \left( x\right)= S \left( x\right) \left( x^2+1\right) + 3\)
Łączymy:
\(S \left( x\right) \left( x^2+1\right) + 3 = P\left( x\right) \left( x+5 \right) \left( x+1\right) +ax+b\)
Wstawiamy \(x=-1\):
\(S \left( -1\right) \left( 1+1\right) + 3 = P \left( -1\right) \left( -1+5\right)\left( -1+1\right) -a + b\)
\(2S \left( -1\right) + 3 = -a+b\)
\(S \left( -1\right) = \frac{b-a-3}{2}\)

Możemy udowodnić, że wielomian \(S\) nie jest wielomianem o samych współczynnikach całkowitych:
\(W \left( 5\right) = 0 = S \left( 5\right) \left( 5^2+1\right) + 3 \So S \left( 5\right) = \frac{-3}{26}\)
i stąd także wielomian \(W\) nie jest wielomianem o samych współczynnikach całkowitych.

Nie mam pojęcia co można więcej z tych informacji zrobić. Myślałem nad wstawieniem \(x=i\), ale nie widzę by coś nam to dało.
Niemniej wiedząc coś o współczynnikach (intuicyjnie mianownik \(-13n, n\in \zz \) powinien się tam znaleźć) oraz o znanym punkcie dla \(S \left( -5 \right) \) możemy potworzyć i wziąć na warsztat kilka wielomianów spełniających podane kryteria:

1. \((\frac{3x}{52} + \frac{9}{52})\cdot(x^2 + 1) + 3 = \frac{3}{52} (x^3 + 3 x^2 + x + 55)\) - reszta z dzielenia przez \(x^2+6x+5\) wynosi \(\frac{21}{26}x+\frac{105}{26}\)
2. \((\frac{2}{39}x^2 + \frac{7}{26}x - \frac{2}{39})\cdot(x^2 + 1) + 3 = \frac{1}{78} \left( x + 5\right) \left( 4x^3+x^2-5x+46\right) \) - reszta z dzielenia przez \(x^2+6x+5\) wynosi \(\frac{8}{13}x + \frac{40}{13}\)

Wniosek/Odpowiedź:
Reszta z dzielenia nie jest jednoznaczna / do wyznaczenia jednoznacznie.

[janusz55]

Ta niejednoznaczność wynika z drugiego warunku:

" Wiedząc, że reszta z dzielenia wielomianu \( W(x) \) przez dwumian \( P(x) = x^2 +1 = (x-i)(x+i) \) jest równa \(3 \)".