Szeregi

[Hermi]

Wykorzystując twierdzenie o rózniczkowaniu lub całkowaniu szeregów potęgowych pokazać, że dla każdego x należącego do (-1,1) prawdziwa jest równość \(\sum_{n=1}^{ \infty} n(n+1)x^n= \frac{2x}{(1-x)^3}\), jak cos takiego liczyć?

[Icanseepeace]

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^n = x \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n-1} = x \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} (x^{n+1})'' = x \cdot (\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^{n+1})'' = \frac{-2x}{(1-x)^3} \)

[Hermi]

Więc prościej wykorzystać kryterium różniczkowe, ale jest jakaś zasada do której pochodnej mam to liczyć na wyczucie?

[Icanseepeace]

Więc prościej wykorzystać kryterium różniczkowe, ale jest jakaś zasada do której pochodnej mam to liczyć na wyczucie?

Różniczkujesz gdy n jest w liczniku.
Całkujesz gdy n jest w mianowniku.