Dzień dobry,
ostatnio na matematyce trafił mi się poniższy przykład:
\(\Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\)
granica powinna wyjść zero, natomiast mi, po podstawieniu pod x i y \((1/n,1/n)\) oraz \((1/n,-1/n)\) wychodzą dwie różne granice, z czego chyba wynika że granicy brak w pkt. 0,0. Pani doktor pokazała jeden sposób z modułami na rozwiązanie tego (z użyciem tw. o trzech ciągach). Zaznaczyła jednak że on działa tylko wtedy, kiedy wiemy że granica jest równa zero i mamy to udowodnić. No a co jeśli takowej informacji nie mamy? Mógłby ktoś bardziej obeznany w temacie podpowiedzieć jak się z takim czymś uporać?
Z góry dziękuję za odpowiedzi i pozdrawiam,
Suri
Granica funkcji wielu zmiennych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Granica funkcji wielu zmiennych
Jeżeli \(y=kx\), gdzie \(k\in\rr\), to
\[\Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{x\to0}\frac{kx}{1 + k^2}=0\]
i Twój kontrprzykład jest nieskuteczny.
Pozdrawiam
\[\Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{x\to0}\frac{kx}{1 + k^2}=0\]
i Twój kontrprzykład jest nieskuteczny.
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 1592
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Granica funkcji wielu zmiennych
Albo
\( x = r\cos(\phi), \ y = r\sin(\phi). \)
\( \Lim_{(x, y)\to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{r\to 0} \frac{r^3\sin(\phi)\cos^2(\phi)}{r^2} = \Lim_{r\to 0} r\sin(\phi)\cos^2(\phi) = 0.\)
Albo
\(( x, \ \ y)= \left( \frac{1}{n}, \ \ \frac{1}{n} \right) \)
\( \Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{2}{n^2}} = \Lim_{n\to \infty} \frac{1}{2n} = 0 \)
Albo
\(( x, \ \ y)= \left( -\frac{1}{n}, \ \ \frac{1}{n}\right) \)
\( \Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{n\to \infty} \frac{-\frac{1}{n^3}}{\frac{2}{n^2}} = \Lim_{n\to \infty} \frac{-1}{2n} = 0 \)
Albo
\(( x, \ \ y)= \left( \frac{1}{n}, \ \ -\frac{1}{n}\right) \)
\( \Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{n\to \infty} \frac{-\frac{1}{n^3}}{\frac{2}{n^2}} = \Lim_{n\to \infty} \frac{-1}{2n} = 0 \)
\( x = r\cos(\phi), \ y = r\sin(\phi). \)
\( \Lim_{(x, y)\to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{r\to 0} \frac{r^3\sin(\phi)\cos^2(\phi)}{r^2} = \Lim_{r\to 0} r\sin(\phi)\cos^2(\phi) = 0.\)
Albo
\(( x, \ \ y)= \left( \frac{1}{n}, \ \ \frac{1}{n} \right) \)
\( \Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{2}{n^2}} = \Lim_{n\to \infty} \frac{1}{2n} = 0 \)
Albo
\(( x, \ \ y)= \left( -\frac{1}{n}, \ \ \frac{1}{n}\right) \)
\( \Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{n\to \infty} \frac{-\frac{1}{n^3}}{\frac{2}{n^2}} = \Lim_{n\to \infty} \frac{-1}{2n} = 0 \)
Albo
\(( x, \ \ y)= \left( \frac{1}{n}, \ \ -\frac{1}{n}\right) \)
\( \Lim_{(x, y)\to(0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}=\Lim_{n\to \infty} \frac{-\frac{1}{n^3}}{\frac{2}{n^2}} = \Lim_{n\to \infty} \frac{-1}{2n} = 0 \)
Re: Granica funkcji wielu zmiennych
Dziękuję Państwu bardzo. Źle zrozumiałam temat, ale już widzę swój błąd.
Pozdrawiam!
Pozdrawiam!