Ciągi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Ciągi
Trójkąty podobne do trójkąta egipskiego (o bokach \(3,\ 4, \ 5\)) jako jedyne spełniają warunek ciągu arytmetycznego długości boków. Zatem...
\[{1\over2}\cdot3x\cdot4x=300\So 3x+4x+5x=\ldots\]
Pozdrawiam
\[{1\over2}\cdot3x\cdot4x=300\So 3x+4x+5x=\ldots\]
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 1596
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Ciągi
Czy to jest trójkąt egipski, czy nie jest egipski, czy w skali 1: 60 - uczeń tego może nie wiedzieć. Po co mu takie wiadomości?
Ale żeby rozwiązać to zadanie - musi znać pojęcie ciągu arytmetycznego, wzór Pitagorasa oraz wzór na pole trójkąta.
Boki trójkąta \( a, b, c \) tworzą ciąg arytmetyczny:
\( a , b = a + r, \ \ c = a+2r \)
Ze wzoru Pitagorasa:
\( a^2 + (a+r)^2 = (a+2r)^2 \)
\( \frac{1}{2}a\cdot (a+r) = 300 \)
Wyznaczając z drugiego równania \( (a+r) = \frac{600}{a} \) i wstawiając do równania pierwszego
\( a^2 + \frac{600^2}{a^2} = \left( \frac{1200}{a} - a\right)^2 \)
Rozwiązaniem dodatnim tego równania jest \( a = 15\sqrt{2}. \)
Z drugiego równania \( r = \frac{600}{a} - a = \frac{600}{15\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} - 15\sqrt{2} = 20\sqrt{2} - 15\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.\)
Boki trójkąta:
\( a = 15\sqrt{2}, \ \ b = 15\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}, \ \ c = 20\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}.\)
Obwód trójkąta:
\( O = a+b+c = 15\sqrt{2} + 20\sqrt{2} + 25\sqrt{2} = 60\sqrt{2}. \)
Ale żeby rozwiązać to zadanie - musi znać pojęcie ciągu arytmetycznego, wzór Pitagorasa oraz wzór na pole trójkąta.
Boki trójkąta \( a, b, c \) tworzą ciąg arytmetyczny:
\( a , b = a + r, \ \ c = a+2r \)
Ze wzoru Pitagorasa:
\( a^2 + (a+r)^2 = (a+2r)^2 \)
\( \frac{1}{2}a\cdot (a+r) = 300 \)
Wyznaczając z drugiego równania \( (a+r) = \frac{600}{a} \) i wstawiając do równania pierwszego
\( a^2 + \frac{600^2}{a^2} = \left( \frac{1200}{a} - a\right)^2 \)
Rozwiązaniem dodatnim tego równania jest \( a = 15\sqrt{2}. \)
Z drugiego równania \( r = \frac{600}{a} - a = \frac{600}{15\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} - 15\sqrt{2} = 20\sqrt{2} - 15\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.\)
Boki trójkąta:
\( a = 15\sqrt{2}, \ \ b = 15\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}, \ \ c = 20\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}.\)
Obwód trójkąta:
\( O = a+b+c = 15\sqrt{2} + 20\sqrt{2} + 25\sqrt{2} = 60\sqrt{2}. \)