Prawdopodobieństwo

[MathsIT]

Zadanie 1. Trzech spośród jedenastu zawodników drużyny piłkarskiej to napastnicy. Drużyna ta zakończyła mecz i jeden z graczy udziela właśnie wywiadu radiowego. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany jeden z pozostałych członków drużyny jest napastnikiem.
Zadanie 2. Z pojemnika zawierającego 4 kule białe i 3 czarne losujemy jedną kulę i nie oglądając jej, wkładamy do drugiego pojemnika, w którym początkowo było 5 kul czarnych i 4 białe. Następnie z drugiego pojemnika losujemy dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą one tego samego koloru koloru?
Zadanie 3. Ze zbioru A={1, 2, 3 ,…,40} losujemy dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch takich liczb, których iloczyn przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.
Zadanie 4. Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul białych i 4 kule czarne, a w drugim 8 kul białych i 2 kule czarne. Rzucamy monetą, jeśli wypadnie orzel, to losujemy jedną kulę z pudełka pierwszego, natomiast jeśli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pudelka drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

Nie mam pojęcia jak zrobić te zadania. Mógłby mi to ktoś rozpisać i obliczyć? Z góry dziękuję

[Jerry]

Zadanie 1. Trzech spośród jedenastu zawodników drużyny piłkarskiej to napastnicy. Drużyna ta zakończyła mecz i jeden z graczy udziela właśnie wywiadu radiowego. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany jeden z pozostałych członków drużyny jest napastnikiem.

Z tw. o p-wie całkowitym (namaluj sobie drzewo probabilistyczne):
\(p(N_1)={3\over11},\ p(N'_1)={8\over11}\)
\(p(N_2/N_1)={2\over10},\ p(N_2/N'_1)={3\over10}\)
Wobec zupełności układu hipotez:
\(p(N_2)={3\over11}\cdot{2\over10}+{8\over11}\cdot{3\over10}=\ldots\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zadanie 2. Z pojemnika zawierającego 4 kule białe i 3 czarne losujemy jedną kulę i nie oglądając jej, wkładamy do drugiego pojemnika, w którym początkowo było 5 kul czarnych i 4 białe. Następnie z drugiego pojemnika losujemy dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą one tego samego koloru koloru?

Jak wyżej...
\(p(B_1)={4\over7},\ p(C_1)={3\over7}\)
\(p(S/B_1)=\dfrac{{5\choose2}\color{red}{+}{5\choose2}}{{10\choose2}},\ p(S/C_1)=\dfrac{{6\choose2}\color{red}{+}{4\choose2}}{{10\choose2}}\)
Wobec zupełności układu hipotez:
\(p(S)=p(B_1)\cdot p(S/B_1)+p(C_1)\cdot p(S/C_1)=\ldots\)

Pozdrawiam

[edited] poprawka po poniższym

[Jerry]

Zadanie 4. Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się 6 kul białych i 4 kule czarne, a w drugim 8 kul białych i 2 kule czarne. Rzucamy monetą, jeśli wypadnie orzel, to losujemy jedną kulę z pudełka pierwszego, natomiast jeśli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pudelka drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

Jak wyżej...
\(p(O)=p(R)={1\over2}\)
\(p(B/O)=\frac{6}{10},\ p(B/R)=\dfrac{8}{10}\)
Wobec zupełności układu hipotez:
\(p(B)=p(O)\cdot p(B/O)+p(R)\cdot p(B/R)=\ldots\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Zadanie 3. Ze zbioru A={1, 2, 3 ,…,40} losujemy dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch takich liczb, których iloczyn przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

Żmudnie, ale elementarnie:

Wersja formalna:
\(\Omega\) jest zbiorem \(2\)-elementowych kombinacji zbioru \(40\)-elementowego, czyli
\(|\Omega|={40\choose2}=20\cdot39\)
W zbiorze \(A\) jest \(14\) liczb dzielących się przez \(3\) z resztą \(1\) i \(13\) liczb dzielących się przez \(3\) z resztą \(2\). Jeśli mnożymy przez siebie dwie liczby podzielne przez \(3\) z tą samą, różną od zera, resztą - iloczyn dzieli się przez \(3\) z reszą \(1\), zatem \(|S|={14\choose2}+{13\choose2}=13\cdot13\).
Zakładając jednakowe p-wa zdarzeń elementarnych, z definicji Laplace'a:
\(p(S)=\frac{13\cdot13}{20\cdot39}=\frac{13}{60}\)
Pozdrawiam

[slodki]

Zadanie 2. Z pojemnika zawierającego 4 kule białe i 3 czarne losujemy jedną kulę i nie oglądając jej, wkładamy do drugiego pojemnika, w którym początkowo było 5 kul czarnych i 4 białe. Następnie z drugiego pojemnika losujemy dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą one tego samego koloru koloru?

Jak wyżej...
\(p(B_1)={4\over7},\ p(C_1)={3\over7}\)
\(p(S/B_1)=\dfrac{{5\choose2}\cdot{5\choose2}}{{10\choose2}},\ p(S/C_1)=\dfrac{{6\choose2}\cdot{4\choose2}}{{10\choose2}}\)
Wobec zupełności układu hipotez:
\(p(S)=p(B_1)\cdot p(S/B_1)+p(C_1)\cdot p(S/C_1)=\ldots\)

Pozdrawiam

Bardzo przepraszam, ale to są jakieś bzdury.
Prawdopodobieństwa warunkowe wyszły ci większe niż 1.
Według tego co piszesz prawdopodobieństwo zdarzenia \(S\) jest większe niż 2, co mija się z elementarną wiedzą na temat rachunku prawdopodobieństwa.
Zadanie można zrobić tak:
Najpierw losujemy jedną kulę z 1 urny. \(P(C)= \frac{3}{7} \), zaś \(P(B)= \frac{4}{7} \). Następnie jeżeli pierwsza z wylosowanych kul jest biała, to w 2 urnie mamy wówczas 5 kul białych i 5 kul czarnych. Prawdopodobieństwo dwóch kul białych jest wówczas \(\frac{ { 5\choose 2} }{ { 10\choose 2}}\). Tyle samo jest równe prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych.

Jeżeli zaś pierwsza z wylosowanych kul jest czarna, to w 2 urnie mamy wówczas 4 kule białych i 6 kul czarnych. Prawdopodobieństwo dwóch kul białych jest wówczas \(\frac{ { 4\choose 2} }{ { 10\choose 2}}\), zaś prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych to \(\frac{ { 6\choose 2} }{ { 10\choose 2}}\).

Finalnie prawdopodobieństwo jest równe wg mnie \( \frac{4}{7} \frac{ { 5\choose 2} }{ { 10\choose 2}}+\frac{4}{7} \frac{ { 5\choose 2} }{ { 10\choose 2}} + \frac{3}{7} \frac{ { 4\choose 2} }{ { 10\choose 2}}+\frac{3}{7} \frac{ { 6\choose 2} }{ { 10\choose 2}}\)

[janusz55]

Oznaczenia:

\( b \) - kula biała

\( c \) - kula czarna.

\( B \) - zdarzenie " wylosowanie kuli biaej"

\( C \) - zdarzenie " wylosowanie kuli czarnej"

Mamy dwie urny \( U_{1} \) i \(U_{2} \) z zawartością kul:

\( U_{1} : 6b + 4c, \)

\( U_{2}: 8b + 2c. \)

Doświadczenie losowe polega na:

-losowaniu jednej kuli z urny \( U_{1}\) i nie oglądając jej - przełożeniu do urny \( U_{2}.\) Następnie losowaniu dwóch kul z urny \( U_{2}. \)

Zakładamy, że wszystkie losowania kul z jednej jak i drugiej urny są równo prawdopodobne.

Z urny \( U_{1} \) możemy wylosować kulę białą bądź czarną i umieścić ją w urnie \( U_{2}.\)

Mamy zbiór zdarzeń elementarnych :

\( U_{1}: \ \ \Omega_{1} = \{b , c\},\)

Rozkład prawdopodobieństwa na tym zbiorze:

\( P_{1}(B) = \frac{6}{6+4} = \frac{6}{10}, \ \ P_{1}(C) = \frac{4}{6+4} = \frac{4}{10}.\)

W etapie drugim losujemy jednocześnie dwie kule z urny \( U_{2}. \)

Urna \( U_{2} \) może zawierać \( 9 \) kul białych i \( 2 \) kule czarne, gdy włożono do niej kulę białą lub \( 8 \) kul białych i \( 3 \) kule czarne, gdy przełożono do niej kulę czarną.

Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \) - "wylosowano dwie kule kule tego samego koloru"

Zdarzenie \( A \) jest sumą dwóch zdarzeń \( A = \{(b,b)\} \cup \{(c,c)\}. \)


Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne):

\( P(A ) = P_{1}(B)\cdot P(\{(b,b)\}| B) + P_{1}(C) \cdot P(\{(b,b)\}|C) +P_{1}(B)\cdot P(\{(c,c)\}| B) + P_{1}(C) \cdot P(\{(c,c)\}|C)\)

\( P(A) = \frac{6}{10}\cdot \frac{{9\choose 2}}{{11\choose 2}} + \frac{4}{10}\cdot \frac{{8 \choose 2}}{{11\choose 2}} + \frac{6}{10}\cdot \frac{{2\choose 2}}{{11\choose 2}} + \frac{4}{10}\cdot \frac{{3\choose 2}}{{11 \choose 2}} = \frac{6}{10}\cdot \frac{36}{55} + \frac{4}{10}\cdot \frac{29}{55} + \frac{6}{10}\cdot \frac{1}{55} + \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{55}= \frac{346}{550} = \frac{173}{275}.\)

Przekładając losowo jedną kulę z urny pierwszej do urny drugiej i losując dwie kule z urny drugiej, możemy oczekiwać, że w około \( 63\% \) ogólnej liczby losowań - otrzymamy parę kul jednego koloru.

slodki! każdy z nas może się pomylić.

[Jerry]

Rzeczywiście, trafił mi się "bad klick". Przepraszam, poprawiłem!

Pozdrawiam