równanie płaszczyzny

[hazelmooney]

Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez początek ukladu współrzędnych i prostopadłej do płaszczyzn \(\pi_1:2x-y+5z-3=0\) i \(\pi_2:x+3y-z-7=0\)

[janusz55]

Szukana płaszczyzna przechodzi przez punkt \( O(0,0,0), \) więc jej równanie ma postać

\( A(x-0) +B(y-0) + C(z-0) = 0 \ \ (1) \)

Szukana płaszczyzna ma być prostopadła do płaszczyzn

\( \pi_{1}: \ \ 2x - y +5z -3 = 0 , \ \ \pi_{2}: \ \ x +3y -z + 7 = 0. \)

Wektory kierunkowe tych płaszczyzn muszą być prostopadłe do wektora kierunkowego szukanej płaszczyzny:

\( 2A -1B +5C = 0 \ \ (2) \)

\( 1A +3B -1C = 0 \ \ (3) \)

Proszę rozwiązać układ równań \( (1), \ \ (2), \ \ (3) \) i wstawić znalezione wartości współrzędnych wektora \( [A, B, C] \) do równania \( (1).\)

[Jerry]

Albo:
Wektory normalne do danych płaszczyzn, czyli \(\vec{N_{\pi_1}}=[2,-1,5]\) i \(\vec{N_{\pi_2}}=[1,3,-1]\) rozpinają szukaną płaszczyznę, zatem wektorem normalnym do niej jest \(\vec N_{{\pi_3}}=[2,-1,5]\times[1,3,-1]=[-14,7,7]\)
Ostatecznie \[\pi_3:-14(x-0)+7(y-0)+7(z-0)=0\qquad|:(-7)\\ \pi_3:2x-y-z=0\]
Pozdrawiam