Przedział zagadnienia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Przedział zagadnienia
Ma jakim przedziale zagadnienie \(y’= \frac{y^2}{1-t^2} , y(0)=0 \) ma dokładnie jedno rozwiązanie ?
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2038
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: Przedział zagadnienia
\( y'(t) = \frac{y^2(t)}{1-t^2} , \ \ y(0)=0, \)
\( t \in \rr \setminus \{-1, 1\}.\)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu - nieliniowe.
Rozkładamy prawą stronę równania na sumę ułamków prostych
\( y'(t) = \frac{y^2(t)}{1-t^2} =\frac{\frac{1}{2}y^2(t)}{1-t} + \frac{\frac{1}{2}y^2(t)}{1+t}. \)
Rozwiązujemy każde równanie osobno, rozdzielając zmienne.
\( \frac{2y'(t)}{y^2(t)} = \frac{1}{1-t}. \)
Obustronnie całkujemy
\( \int \frac{2y'(t)}{y^2(t)}dy = \int \frac{1}{1-t}dt. \)
\( \frac{2}{y(t)} = \ln|1- t| + c_{1} , \ \ c_{1}- \) stała
\( y_{1}(t) = \frac{2}{\ln|1-t| + c_{1}}.\)
Analogicznie równanie drugie
\( \frac{2y'(t)}{y^2(t)} = \frac{1}{1+t}. \)
\( \int \frac{2y'(t)}{y^2(t)}dy = \int \frac{1}{1+t}dt. \)
\( -\frac{2}{y(t)} = \ln|1+t| + c_{2} , \ \ c_{2}- \) stała
\( y_{2}(t) = -\frac{2}{\ln|1+t| + c_{2}}, \)
Rozwiązanie ogólne równania
\( y(t) = y_{1}(t) + y_{2}(t) = \frac{2}{\ln|1-t| + c_{1}} -\frac{2}{\ln|1+t| + c_{2}}. \)
Rozwiązanie szczególne
\( 0 = \frac{2}{\ln(1) + c_{1}} - \frac{2}{\ln(1) + c_{2}} = \frac{2}{0+c_{1}}- \frac{2}{0 + c_{2}} \)
Stąd
\( c_{1} = c_{2} = c, \ \ c\in R. \)
Rozwiązanie zagadnienia (problemu) Cauchy istnieje na przedziale \( t \in (- \infty , 0) \cup [0, \infty) \setminus \{-1, 1\}, \)
ale nie jest ono dokładnie jedno.
\( t \in \rr \setminus \{-1, 1\}.\)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu - nieliniowe.
Rozkładamy prawą stronę równania na sumę ułamków prostych
\( y'(t) = \frac{y^2(t)}{1-t^2} =\frac{\frac{1}{2}y^2(t)}{1-t} + \frac{\frac{1}{2}y^2(t)}{1+t}. \)
Rozwiązujemy każde równanie osobno, rozdzielając zmienne.
\( \frac{2y'(t)}{y^2(t)} = \frac{1}{1-t}. \)
Obustronnie całkujemy
\( \int \frac{2y'(t)}{y^2(t)}dy = \int \frac{1}{1-t}dt. \)
\( \frac{2}{y(t)} = \ln|1- t| + c_{1} , \ \ c_{1}- \) stała
\( y_{1}(t) = \frac{2}{\ln|1-t| + c_{1}}.\)
Analogicznie równanie drugie
\( \frac{2y'(t)}{y^2(t)} = \frac{1}{1+t}. \)
\( \int \frac{2y'(t)}{y^2(t)}dy = \int \frac{1}{1+t}dt. \)
\( -\frac{2}{y(t)} = \ln|1+t| + c_{2} , \ \ c_{2}- \) stała
\( y_{2}(t) = -\frac{2}{\ln|1+t| + c_{2}}, \)
Rozwiązanie ogólne równania
\( y(t) = y_{1}(t) + y_{2}(t) = \frac{2}{\ln|1-t| + c_{1}} -\frac{2}{\ln|1+t| + c_{2}}. \)
Rozwiązanie szczególne
\( 0 = \frac{2}{\ln(1) + c_{1}} - \frac{2}{\ln(1) + c_{2}} = \frac{2}{0+c_{1}}- \frac{2}{0 + c_{2}} \)
Stąd
\( c_{1} = c_{2} = c, \ \ c\in R. \)
Rozwiązanie zagadnienia (problemu) Cauchy istnieje na przedziale \( t \in (- \infty , 0) \cup [0, \infty) \setminus \{-1, 1\}, \)
ale nie jest ono dokładnie jedno.