liczby zespolone na płaszczyźnie

[koxiarzx]

Cześć, takie mam zapytanie:
Zilustruj na płaszczyźnie zespolonej zbiór B: \(z^4- z= 0\)gdzie z należy do zespolonych

[kerajs]

\(z^4- z= 0 \\
z(z^3-1)=0 \\ z=0 \ \ \vee \ \ z= \sqrt[3]{1} \)
daje to punkty \((0.0) \ , \ (1,0) \ , \ ( \frac{-1}{2} , \frac{ \sqrt{3} }{2} ) \ , \ ( \frac{-1}{2} , \frac{ -\sqrt{3} }{2} ) \)

[janusz55]

Zapytanie

Jaki zbiór \( B \) na płaszczyźnie Gaussa przedstawia równanie:

\( B: \ \ z^4-z = 0 ? \)

\( z^4 -z = z(z^3- 1) = | z = x+iy | = (x+iy)[(x+iy)^3 -1] = (x+iy)[x^3 +3x^2iy + 3x(iy)^2 +(iy)^3 -1] =\)

\( x^4 +3x^3iy -3x^2y^2-ixy^3-x +ix^3y -3x^2y^2-3ixy^3 +y^4 -iy = (x^4+y^4 -6x^2y^2-x)+i(4x^3y -4xy^3-y) = 0 \)

Stąd

\( x^4+y^4 -6x^2y^2-x = 0 \vee 4x^3y -4xy^3-y = 0 \)

Wykres rodziny krzywych odpowiednio części rzeczywistej i części urojonej

[Jerry]

Stąd
\( x^4+y^4 -6x^2y^2-x = 0 \color{red}{\vee} 4x^3y -4xy^3-y = 0 \)

Wg mnie
\[x^4+y^4 -6x^2y^2-x = 0 \color{red}{\wedge} 4x^3y -4xy^3-y = 0\]
i odpowiedź jak u kerajsa.

Pozdrawiam

[janusz55]

Jeśli zadamy pytanie, co przedstawia zbiór \( B: \ \ z^4 -z = 0 \) na płaszczyźnie zespolonej \( \cc \) - są to rodziny krzywych części rzeczywistej i urojonej.

[kerajs]

A może jednak jest to część wspólna tych wykresów? (I wtedy uzyska się wskazane cztery punkty. )