Równanie prosta

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
cucumberppp
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 6
Rejestracja: 19 lis 2023, 19:46
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Równanie prosta

Post autor: cucumberppp »

Szanowni Państwo,

Zwracam się z prośbą o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań. Bardzo dziękuję za pomoc


Zad.1 Napisz równanie symetralnej odcinka o końcach A(-3,6) B(5,-2)

Zad.2 wiedząc że punkty A (-4,1) B(1,4) C(5,-1) są wierzchołkami trójkąta oblicz;
a) pole i obwod
b) sprawdź czy trójkąt abc jest prostokątny
c) długość środkowej bb1
d) długość wysokosci poprowadzonej z wierzchołka A
e) środek ciężkości

Zad.3 w równoległoboku ABCD dane są współrzędne trzech wierzchołków A(-4,-2) B(2,3) C(3,8) oblicz współrzędne czwartego wierzchołka

Zad4 wyznacz odległość punktu przecięcia prostych o równaniach 3x +y-7=0 , 4x+3y-21=0 od prostej y=x-1

Zad5 napisz rownanien okręgu o środku S=(2,-3) i promieniu pierwiastek z 5
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3423
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1867 razy

Re: Równanie prosta

Post autor: Jerry »

cucumberppp pisze: 12 lut 2024, 23:01 Zad.1 Napisz równanie symetralnej odcinka o końcach A(-3,6) B(5,-2)
Z własności symetralnej odcinka:
\[\sqrt{(x+3)^2+(y-6)^2}=\sqrt{(x-5)^2+(y+2)^2}\]
Pozostaje podnieść stronami do kwadratu i uporządkować...

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3423
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1867 razy

Re: Równanie prosta

Post autor: Jerry »

cucumberppp pisze: 12 lut 2024, 23:01 Zad.3 w równoległoboku ABCD dane są współrzędne trzech wierzchołków A(-4,-2) B(2,3) C(3,8) oblicz współrzędne czwartego wierzchołka
Ponieważ \(\vec{BC}=[1,5]=\vec{AD}\), to \(D(-4+1,-2+5)\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3423
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1867 razy

Re: Równanie prosta

Post autor: Jerry »

cucumberppp pisze: 12 lut 2024, 23:01 Zad5 napisz rownanien okręgu o środku S=(2,-3) i promieniu pierwiastek z 5
Po prostu:
\[(x-2)^2+(y+3)^2=\sqrt5^2\]
Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3423
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1867 razy

Re: Równanie prosta

Post autor: Jerry »

cucumberppp pisze: 12 lut 2024, 23:01 Zad4 wyznacz odległość punktu przecięcia prostych o równaniach 3x +y-7=0 , 4x+3y-21=0 od prostej y=x-1
1. \(\begin{cases}3x +y-7=0\\4x+3y-21=0\end{cases}\iff\begin{cases}x=0\\y=7\end{cases}\)
2. \(d((0,7),x-y-1=0)=\frac{|0-7-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\ldots\)

Pozdrawiam
PS. 2. bez kartki nie ogarnę...
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1323
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 372 razy

Re: Równanie prosta

Post autor: janusz55 »

Zadanie 1

Równanie prostej \( l \) przechodzącej przez dwa punkty \( A(-3,6),\ \ B(5, -2) \)

\(l: \ \ y = \frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B} - x_{A}}(x-x_{B}) + y_{B} \)

\( l: \ \ y = \frac{-2-6}{5+3}(x-5) -2 = -\frac{8}{8}(x-5) -2 = -(x-5) -2 = -x +5 -2 = -x +3.\)

Współrzędne środka odcinka \( \overline{AB} \)

\( S = \left( \frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \ \ \frac{y_{B}+y_{A}}{2}\right) \)

\( S = \left(\frac{-3 +5}{2}, \ \ \frac{6-2}{2}\right) = (1, \ \ 2). \)

Równanie symetralnej odcinka \( s \) - prostej prostopadłej do prostej \( l \) i przechodzącej przez punkt \( S \)

\( s: \ \ y = x + b \)

\( 2 = 1 +b, \ \ b = 1. \)

\(s: \ \ y = x +1.\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1323
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 372 razy

Re: Równanie prosta

Post autor: janusz55 »

Zadanie 2

Rysunek trójkąta ABC we współrzędnych kartezjańskich.

a)
\( Pole_{\Delta}= \frac{1}{2}\left| |wsp.(\vec{AB}) \ \ wsp.(\vec{AC}| \right| = \frac{1}{2}\left|\left | \begin{matrix}x_{B}-x_{A}& y_{B}-y_{A} \\ x_{C}-x_{A}& y_{C}-y_{A}\end{matrix}\right| \right| \)

\( Pole_{\Delta} = \frac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix} 1+4 & 4-1\\ 5+4 & -1 -1 \end{matrix} \right|\right| = \frac{1}{2} \left|\left|\begin{matrix} 5 & 3 \\ 9 & -2\end{matrix} \right| \right| = \frac{1}{2} |5\cdot (-2) - 3\cdot 9| = \frac{1}{2}|-10 -27| = \frac{1}{2}|-37|= \frac{1}{2}\cdot 37 = 18\frac{1}{2}.\)

\( Obwód_{\Delta} = |\overline{AB}| + |\overline{BC}| + |\overline{CA}|= \sqrt{(x_{B}-x_{A})^2 + (y_{B}-y_{A})^2} + \sqrt{(x_{C}-x_{B})^2 + (y_{C}-y_{B})^2} + \sqrt{(x_{A}-x_{C})^2 + (y_{A}-y_{C})^2} \)

\( Obwód_{\Delta} = \sqrt{(1+4)^2 + (4-1)^2} + \sqrt{(5-1)^2 + (-1-4)^2}+ \sqrt{(-4-5)^2 + (1+1)^2} = \sqrt{5^2+3^2}+\sqrt{4^2+(-5)^2}+\sqrt{(-9)^2+2^2}=\)
\(= \sqrt{34}+\sqrt{41} + \sqrt{85}\)

b)
\( |\overline{AB}|^2 + |\overline{BC}|^2 = 34 + 41 = 75 \neq 85 = |\overline{CA}|^2.\)

NIe jest to trójkąt prostokątny.

c)
Długość środkowej \( \overline{CD} \) boku \( \overline{AB} \)

Współrzędne środka \( D (x_{D}, \ \ y_{D}) \) boku \( \overline{AB} \)

\( D = \left(\frac{x_{B}+x_{A}}{2}, \ \ \frac{y_{B}+y{A}}{2} \right) \)

\( D = \left( \frac{1-4}{2}, \ \ \frac{4+1}{2}\right) = \left( -\frac{3}{2}, \ \ \frac{5}{2}\right).\)

\( |\overline{CD}| = \sqrt{(x_{D}-x_{C} )^2 + (y_{D}-y_{C})^2} \)

\( |\overline{CD}| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2} -5\right)^2 + \left(\frac{5}{2} +1\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{13}{2}\right)^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{ \frac{169}{4}+\frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{218}{4}} = \frac{\sqrt{218}}{2}.\)

d)
Długość wysokości \( |\overline{AE}| \)

Z równania na pole trójkąta \( ABC \)

\( Pole_{\Delta} = \frac{1}{2}|\overline{BC}|\cdot |\overline{AE}|\)

\( 18\frac{1}{2} = \frac{37}{2}= \frac{1}{2}\sqrt{41}\cdot |\overline{AE}|\)

\( |\overline{AE}| = \frac{37}{\sqrt{41}}.\)

e)
Współrzędne środka ciężkości trójkąta \( (x_{s}, \ \ y_{s})\) - współrzędne punktu przecięcia się środkowych trójkąta

\( (x_{S}, \ \ y_{S}) = \left( \frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}, \ \ \frac{y_{A}+y_{B} +y_{C}}{3} \right) \)

\( (x_{S}, \ \ y_{S} ) = \left(\frac{-4+1+5}{3}, \ \ \frac{1+4 +(-1)}{3} \right) = \left( \frac{2}{3}, \ \ \frac{4}{3} \right).\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3423
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1867 razy

Re: Równanie prosta

Post autor: Jerry »

cucumberppp pisze: 12 lut 2024, 23:01 Zad.2 wiedząc że punkty A (-4,1) B(1,4) C(5,-1) są wierzchołkami trójkąta oblicz;
a) pole i obwod
\(|\vec{AB}|=|[5,3]|=\sqrt{34}\\
|\vec{BC}|=|[4,-5]|=\sqrt{41}\\
|\vec{AC}|=|[9,-2]|=\sqrt{85}\)
skąd obwód.
\(S_{\Delta ABC}={1\over2}\cdot| \begin{vmatrix}5&3\\9&-2 \end{vmatrix}|=18,5\)
cucumberppp pisze: 12 lut 2024, 23:01 b) sprawdź czy trójkąt abc jest prostokątny
\(\sqrt{34}^2+\sqrt{41}^2\ne\sqrt{85}^2\)
skąd wniosek
cucumberppp pisze: 12 lut 2024, 23:01 c) długość środkowej bb1
\(B_1=\left({-4+5\over2},{1+(-1)\over2}\right)\So |BB_1|=\sqrt{\left(1-{1\over2}\right)^2+(4-0)^2}=\ldots\)
cucumberppp pisze: 12 lut 2024, 23:01 d) długość wysokosci poprowadzonej z wierzchołka A
\(d(A,l_{BC})=d((-4,1),5x+4y-21=0)=\dfrac{|5\cdot(-4)+4\cdot1-21|}{\sqrt{5^2+4^2}}=\ldots\)
cucumberppp pisze: 12 lut 2024, 23:01 e) środek ciężkości
\(S=\left({-4+1+5\over3},{1+4+(-1)\over2}\right)\)

Pozdrawiam