Macierze - AX=XA, przestrzeń liniowa

[watadam]

Prośba o podpowiedź jak rozwiązać to zadanie:
Dla macierzy A wyznacz wszystkie macierze X należące do M2(R), takie że AX=XA
(macierz A jest 2x2 - w pierwszym rzędzie 4 5; w drugim rzędzie 2 3)
Czy zbiór tych macierzy tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej M2(R), jaki jest jej wymiar?

[janusz55]

Niech macierz \( X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}.\)

\( A\cdot X = X \cdot A \Longleftrightarrow \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \)

Stąd

\( \begin{bmatrix} 4a +5c & 4b+5d \\ 2a +3c & 2b+3d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a +2b & 5a+3b \\ 4c +2d & 5c+3d \end{bmatrix} \)

Z równości dwóch macierzy

\( \begin{cases} 4a + 5c = 4a +2b \\ 4b +5d = 5a +3b \\ 2a +3c = 4c +2d \\ 2b + 3d = 5c +3d \end{cases}.\)

\( \begin{cases} 5c = 2b \\ b +5(c -d) \\ c = 2(a -d) \\ 2b=5c \end{cases}.\)

Wyznaczając z pierwszego lub czwartego równania na przykład \( c = \frac{2}{5}b \) i podstawiając do równań drugiego i trzeciego - po uproszczeniach dostajemy

\( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5}b & b \\ \frac{2}{5}b & \frac{1}{5}b \end{bmatrix} = b\begin{bmatrix} \frac{2}{5} & 1 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix}, \ \ b \in \rr. \)

Postać szczególna dla \( b=1 \) macierzy \( X = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & 1 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} \).

Zbiór macierzy \( A, X \) tworzy podprzestrzeń liniową \( V \) przestrzeni macierzy drugiego stopnia nad ciałem liczb rzeczywistych \( M_{2}(\rr) ( V = \{ A, X \} \subset M_{2}(\rr) ) \), bo suma i iloczyn tych macierzy przez skalar należy do tej podprzestrzeni.

Innymi słowy \( V = lin \left\{ \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & 1 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} \right\} \subset M_{2}(\rr)\)

Przy czym macierze \( \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}, \ \ \begin{bmatrix}\frac{2}{5} & 1 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix}\) są liniowo niezależne, zatem wymiar podprzestrzeni \( V, \ \ \dim(V) = 2.\)

Proszę nauczyć się podstaw edytora \( \LaTeX. \) Nauka nie zabierze dużo czasu, a przyda się w przyszłości.

[Joewa]

Nie rozumiem ja w drugim równaniu b+5(c−d) znalazło się c, bo podejrzewam ze po b powinno być = zamiast +, a to zmieni rozwiazanie jeśli tam powinno być a

[watadam]

Bardzo dziękuję za rozwiązanie!!!
Pierwsza część zadania jest już dla mnie jasna, widzę już gdzie robiłam błąd.
O tych przestrzeniach, podprzestrzeniach muszę się douczyć, tylko ciężko mi znaleźć jakiś fajny kurs na ten temat.

Edytora się nauczę w wolniejszej chwili:)

[janusz55]

\( b = 5(a- d)\)

To nie zmienia rozwiązania, bo ta równość została uwzględniona w dalszym rozwiązaniu układu.

Równość iloczynu macierzy \( A\cdot X = X\cdot A \) sprawdziłem.

Najlepszym "fajnym kursem " jest samodzielne rozwiązywanie zadań z podręczników.

Nie wiem na jakiej uczelni Pani studiuje.

Polecam na przykład podręcznik Teresy Jurlewicz, ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA. Zbiór zadań z rozwiązaniami. Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 1993.

[watadam]

Dziękuję za polecenie książki,
obecnie uczę się głównie z książki Marka Lassaka "Matematyka dla kierunków technicznych" ale tam nie ma wszystkich zagadnień (niemniej książka jak dla mnie jest świetna, przejrzyście i jasno napisana, są podane dokładne rozwiązania zadań)
no i z internetu;))

[janusz55]

Polecam dodatkowo na tym samym poziomie - technicznym podręcznik Marii Dobrowolskiej Matematyka dla studiów technicznych.

lub tej samej autorki Matematyka dla studiów technicznych dla pracujących. Tom 1 i 2.

[Joewa]

Czy to nie powinien być taki wynik?

\( \begin{cases} 5c = 2b \\ 5a-b-5d=0 \\ 2a-c-2d=0 \\ 2b=5c \end{cases}.\)

\(X= c\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \ \ c,d \in \rr. \)

[janusz55]

NIe! Powinna to być jedna macierz \( 2\times 2.\)

Pani Joewa niepotrzebnie wtrąca się Pani do zadania nie mając pojęcia.

Nie wierzy Pani, że \( AX = XA ?\)

\( AX = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{2}{5} &1 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{18}{5} & 5 \\ 2 & \frac{13}{5} \end{bmatrix}.\)

\( XA = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} &1 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \frac{18}{5} & 5 \\ 2 & \frac{13}{5} \end{bmatrix}.\)

Jak napisałem wcześniej podprzestrzeń liniową \( V \) generują dwie macierze \( A \) i \( X.\)