Niech a, b, c będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunki: \(a\ge b\ge c>0\). Uzasadnij, że
\(\frac{a^2-b^2}{c}+\frac{c^2-b^2}{a}+\frac{a^2-c^2}{b}\ge 3a-4b+c\)
Uzasadnienie nierówności. Czy ktoś potrafimi pomóc?
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 06 lut 2024, 13:53
- Podziękowania: 1 raz
- Jerry
- Expert
- Posty: 3657
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1989 razy
Re: Uzasadnienie nierówności. Czy ktoś potrafimi pomóc?
Zauważmy, że dla \(a\ge b\ge c>0\) zachodzą nierówności:
\[\dfrac{a^2-b^2}{c}-2(a-b)+\dfrac{c^2-b^2}{a}-2(c-b)+\dfrac{a^2-c^2}{b}-(a-c)\ge0\\
\dfrac{a^2-b^2}{c}+\dfrac{c^2-b^2}{a}+\dfrac{a^2-c^2}{b}\ge 3a-4b+c\qquad\text{CKD.}\]
Pozdrawiam
PS. Mam nadzieję, że nie jest to zadanie
- \(\dfrac{a^2-b^2}{c}-2(a-b)=\ldots=\dfrac{(a-b)[(a-c)+(b-c)]}{c}\ge0\)
- \(\dfrac{c^2-b^2}{a}-2(c-b)=\ldots=\dfrac{(b-c)[(a-b)+(a-c)]}{a}\ge0\)
- \(\dfrac{a^2-c^2}{b}-(a-c)=\ldots=\dfrac{(a-c)[(a-b)+c]}{b}\ge0\)
\[\dfrac{a^2-b^2}{c}-2(a-b)+\dfrac{c^2-b^2}{a}-2(c-b)+\dfrac{a^2-c^2}{b}-(a-c)\ge0\\
\dfrac{a^2-b^2}{c}+\dfrac{c^2-b^2}{a}+\dfrac{a^2-c^2}{b}\ge 3a-4b+c\qquad\text{CKD.}\]
Pozdrawiam
PS. Mam nadzieję, że nie jest to zadanie
- pod maturę - analizowałem je kilka wieczorów...
- konkursowe i nie zaliczę warna!
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 06 lut 2024, 13:53
- Podziękowania: 1 raz
Re: Uzasadnienie nierówności. Czy ktoś potrafimi pomóc?
Serdecznie dziękuję za poświęcony czas i włożony trud w rozwiązanie tego zadania. Sama też spędziłam nad tym zadaniem dużo czasu. Próbowałam rozwiązać je tradycyjnymi (tzn. maturalnymi) sposobami, ale nic mi nie wychodziło. Zadanie jak widać okazało się nietypowe, więc typowe metody zawiodły. Zadanie nie jest maturalne. Lubię sobie wyszukiwać takie perełki i pomęczyć się z nimi trochę, sprawia mi to przyjemność. Z tą nie poradziłam sobie więc jeszcze raz dziękuję i serdecznie pozdrawiam. Balbina