Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest dana wzorem:
\[f_x(x) = \begin{cases}
\frac{1}{q} & \text{dla } x \in \left[ \frac{-q}{2}, \frac{q}{2} \right] \\
0 & \text{dla } x \notin \left[ \frac{-q}{2}, \frac{q}{2} \right]
\end{cases}\]
a) Wyznaczyć dystrybuantę i narysować jej wykres
b) Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję
c) Wyznaczyć \(P(\frac{q}{4}≤x≤q)\)
funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1585
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 417 razy
Re: funkcja gęstości prawdopodobieństwa
a)
Z określenia dystrybuanty zmiennej losowej przedziałami ciągłej
Dla \( x\leq -\frac{q}{2} \)
\( F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt =\int_{-\infty}^{-\frac{q}{2}} 0 \cdot dt = 0.\)
Dla \( -\frac{q}{2} < x \leq \frac{q}{2}\)
\( F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty}^{-\frac{q}{2}} 0\cdot dt + \int_{-\frac{q}{2}}^{x} \frac{1}{q} dt = 0 + \frac{1}{q}\left[ x +\frac{q}{2}\right] = \frac{1}{q} x + \frac{1}{2}.\)
Dla \( x> \frac{q}{2} \)
\( F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty}^{-\frac{q}{2}} 0\cdot dt + \int_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} \frac{1}{q}dt + \int_{\frac{q}{2}}^{\infty} f(t) dt = 0 + 1 +0 = 1.\)
\( F_{X}(x) = \begin{cases} 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \leq -\frac{q}{2} \\ \frac{1}{q}x +\frac{1}{2}, \ \ -\frac{q}{2} < x \leq \frac{q}{2} \\ 1, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > \frac{q}{2} \end{cases} \)
b)
\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{-\infty}^{-\frac{q}{2}} x \cdot 0 + \int_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} x \cdot \frac{1}{q} dx + \int_{\frac{q}{2}}^{\infty} x\cdot 0 = 0 + \frac{1}{q} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} = \frac{1}{q}\left[\frac{q^2}{8} -\frac{q^2}{8}\right] = 0 +0 +0 = 0\)
Ten wynik mogliśmy przewidzieć, biorąc pod uwagę symetrię rozkładu.
c)
Obliczamy drugi moment zwykły zmiennej losowej X
\( m_{2} = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} x^2\cdot \frac{1}{q} dx = \frac{1}{q}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} = \frac{1}{q} \left[\frac{q^3}{24} + \frac{q^3}{24} \right] = \frac{1}{q}\cdot \frac{2q^3}{24} = \frac{q^2}{12}.\)
Wariancja zmiennej losowej \( X \)
\( V(X) = m_{2} - [E(X)]^2 = \frac{q^2}{12} - 0^2 = \frac{q^2}{12}.\)
d)
\( P \left (\{\frac{q}{4} \leq X \leq q \}\right) = \int_{\frac{q}{4}}^{q} f(x)dx = \int_{\frac{q}{4}}^{\frac{q}{2}} \frac{1}{q}dx + \int_{\frac{q}{2}}^{q} 0dx = \frac{1}{q}\left[ \frac{q}{2} - \frac{q}{4}\right] + 0 = \frac{1}{q}\cdot \frac{q}{4} = \frac{1}{4}.\)
Powyższe prawdopodobieństwo można obliczyć innym sposobem - z dystrybuanty zmiennej losowej X
\( P \left (\{\frac{q}{4} \leq X \leq q \}\right) = F(q) - F\left(\frac{1}{4}q \right) = 1 - \left(\frac{1}{q}\cdot \frac{1}{4}q + \frac{1}{2}\right) = 1 -\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) = 1 -\frac{3}{4} = \frac{1}{4}.\)
Z określenia dystrybuanty zmiennej losowej przedziałami ciągłej
Dla \( x\leq -\frac{q}{2} \)
\( F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt =\int_{-\infty}^{-\frac{q}{2}} 0 \cdot dt = 0.\)
Dla \( -\frac{q}{2} < x \leq \frac{q}{2}\)
\( F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty}^{-\frac{q}{2}} 0\cdot dt + \int_{-\frac{q}{2}}^{x} \frac{1}{q} dt = 0 + \frac{1}{q}\left[ x +\frac{q}{2}\right] = \frac{1}{q} x + \frac{1}{2}.\)
Dla \( x> \frac{q}{2} \)
\( F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty}^{-\frac{q}{2}} 0\cdot dt + \int_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} \frac{1}{q}dt + \int_{\frac{q}{2}}^{\infty} f(t) dt = 0 + 1 +0 = 1.\)
\( F_{X}(x) = \begin{cases} 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \leq -\frac{q}{2} \\ \frac{1}{q}x +\frac{1}{2}, \ \ -\frac{q}{2} < x \leq \frac{q}{2} \\ 1, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > \frac{q}{2} \end{cases} \)
b)
\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{-\infty}^{-\frac{q}{2}} x \cdot 0 + \int_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} x \cdot \frac{1}{q} dx + \int_{\frac{q}{2}}^{\infty} x\cdot 0 = 0 + \frac{1}{q} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} = \frac{1}{q}\left[\frac{q^2}{8} -\frac{q^2}{8}\right] = 0 +0 +0 = 0\)
Ten wynik mogliśmy przewidzieć, biorąc pod uwagę symetrię rozkładu.
c)
Obliczamy drugi moment zwykły zmiennej losowej X
\( m_{2} = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} x^2\cdot \frac{1}{q} dx = \frac{1}{q}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-\frac{q}{2}}^{\frac{q}{2}} = \frac{1}{q} \left[\frac{q^3}{24} + \frac{q^3}{24} \right] = \frac{1}{q}\cdot \frac{2q^3}{24} = \frac{q^2}{12}.\)
Wariancja zmiennej losowej \( X \)
\( V(X) = m_{2} - [E(X)]^2 = \frac{q^2}{12} - 0^2 = \frac{q^2}{12}.\)
d)
\( P \left (\{\frac{q}{4} \leq X \leq q \}\right) = \int_{\frac{q}{4}}^{q} f(x)dx = \int_{\frac{q}{4}}^{\frac{q}{2}} \frac{1}{q}dx + \int_{\frac{q}{2}}^{q} 0dx = \frac{1}{q}\left[ \frac{q}{2} - \frac{q}{4}\right] + 0 = \frac{1}{q}\cdot \frac{q}{4} = \frac{1}{4}.\)
Powyższe prawdopodobieństwo można obliczyć innym sposobem - z dystrybuanty zmiennej losowej X
\( P \left (\{\frac{q}{4} \leq X \leq q \}\right) = F(q) - F\left(\frac{1}{4}q \right) = 1 - \left(\frac{1}{q}\cdot \frac{1}{4}q + \frac{1}{2}\right) = 1 -\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) = 1 -\frac{3}{4} = \frac{1}{4}.\)