Równania różniczkowe

Pytania o rozwiązania zadań.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ola00
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 61
Rejestracja: 30 lis 2021, 14:55
Podziękowania: 14 razy

Równania różniczkowe

Post autor: Ola00 »

Temperatura powietrza w pomieszczeniu wynosi 5°C. Wrząca woda obniża w nim swoją temperaturę do 50°C w ciagu trzydziestu sekund. Po jakim czasie temperatura wody będzie wynosiła 10°C?
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1323
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 372 razy

Re: Równania różniczkowe

Post autor: janusz55 »

Szybkość stygnięcia ciała jest proporcjonalna do różnicy temperatur ciała i otaczającego go powietrza.

W ciągu \( 30 \) sekund temperatura ciała zmalała ze \( 100 ^{o} C \) do \( 50^{o} C. \)

Temperatura powietrza równa jest \( 5^{o} C.\) Po jakim czasie temperatura ciała zmniejszy się do \( 10^{o} C \ \ ? \)

Oznaczmy przez \( T(t) \) temperaturę ciała w chwili \( t.\)

Spełnione są równości \( T(0) = 100^{o} C, \ \ T(30) = 50^{o} C.\)

Niech \( \lambda \) oznacza współczynnik proporcjonalności, który występuje w treści zadania.

Dla małej liczby \( \Delta t \) zachodzi przybliżona równość \( \frac{T (t+ \Delta t) - T(t)}{\Delta t} \approx \lambda(T - 5).\)

Po przejściu do granicy przy \( \Delta t \rightarrow 0 \) otrzymujemy równanie

\( T'(t) = \lambda(T - 5),\)

czyli

\( \lambda t = \int \lambda dt = \int \frac{T'(t)}{T(t) -5}dt = \int \frac{dT}{T -5} = \ln|T- 5|.\)

Z treści zadania wynika, że \( T >5. \)

Stąd

\( T - 5 = T(t) -5 = e^{C} \cdot e^{\lambda t}. \)

Mamy \( 50 = T(30) = 5 + e^{C} \cdot e^{30\cdot \lambda} \) oraz \( 100 = T(0) = 5 + e^{C} \cdot e^{\lambda\cdot 0} \)

\( \begin{cases} 50 = 5 + e^{C} e^{ 30\cdot \lambda} \\ 100 = 5 + e^{C}\cdot 1 \end{cases} \)

\( e^{C} = 95, \ \ C = \ln 95, \ \ 50 = 5 + e^{\ln 95} \cdot e^{30\cdot \lambda} \)

\( 45 = 95e^{30\cdot \lambda} , \ \ \frac{45}{95} = \frac{9}{19} = e^{30\lambda} \)

\( 30 \lambda = \ln\left(\frac{9}{19}\right), \ \ \lambda = \frac{1}{30}\ln\left(\frac{9}{19}\right) \approx- 0,02\)

Wracamy do rozwiązania równania różniczkowego

\( T(t) = 5 + 95e^{-0,02t} \)

Mamy znaleźć taką liczbę \( t, \) że \( 10 = 5 + 95e^{-0,02t},\)

Stąd

\( e^{-0,02t} = \frac{5}{95} = \frac{1}{19}.\)

\( -0,02 t = \ln \left (\frac{1}{19}\right) \)

\( -0,02t \approx -2,94 \)

\( t = \frac{-2.94}{-0,02} \approx 147 s.\)

Temperatura wody będzie wynosiła \( 10^{o} C \) po około \( 147 \) sekundach.