Optymalizacja - poziom rozszerzony graniastosłupy

[Szymonix1818]

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne, których objętość jest równa 16. Wyznacz, dla jakich długości krawędzi pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie najmniejsze oraz oblicz to najmniejsze pole.

wyznaczyłem już tak;
Pp = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}
V = \frac{1}{3} \cdot Pp \cdot H
Pc = 3 \cdot a \cdot H + 2 \cdot Pp
16= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H
192= a^2 \cdot H
64 \sqrt{3} =a^2 \cdot H
H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}
podstawiamy H i mamy

Pc= \sqrt{3}( \frac{192}{a} + \frac{a^2}{2} )
teraz liczymy pochodną czyli:
a \in (0,+ \infty )
f'(x)= \frac{2a \cdot 2 - a^2 \cdot 0}{4} + \frac{0 \cdot a - 192}{a^2}
teraz porównałem ją do 0
i wyszło że a=4 \sqrt[3]{3}
czyli:
funkcja mniejsza od zera dla a \in (0,4 \sqrt[3]{3} )
funkcja wjększa od zera dla a \in ( 4 \sqrt[3]{3} , \infty )
czyli:
funkcja maleje w przedziale (0,4 \sqrt[3]{3} >
funkcja rośnie w przedziale < 4 \sqrt[3]{3} , \infty )

i teraz nie jestem w stanie obliczyć H gdyż ja podstawiam pod wzór H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}
wydaje mi się, że będzie to H= \frac{4 \sqrt{3} }{ \sqrt[3]{9} } ale nie jestem pewien
Prosze bardzo o pomoc

[Jerry]

Kiepsko się czyta kod bez tagów...
Wydaje mi się, że w pewnym momencie zgubiłeś \(\sqrt3\)

Bez pochodnej, z wykorzystaniem porządku pomiędzy średnimi:
\[P_G=\sqrt3\cdot\left({a^2\over2}+{32\over a}+{32\over a}\right)\ge\sqrt3\cdot3\sqrt[3]{{a^2\over2}\cdot{32\over a}\cdot{32\over a}}\]
i równość zachodzi dla
\[{a^2\over2}={32\over a}={32\over a}\iff a = 4;\ \ h={4\sqrt3\over3}\]
Pozdrawiam

[Szymonix1818]

Jak te taki się ustawia bo pierwszy raz coś pisze tutaj a mogę szybo napisać jeśli chcesz aby było bardziej przejrzyście

[Jerry]

Kod: Zaznacz cały

[tex] \sqrt{3} [/tex]

daje \( \sqrt{3} \)
Jeśli możesz jeszcze edytować swój post, to go po prostu popraw.

Pozdrawiam
PS. Zrozumiałeś mój wcześniejszy post ?

[Szymonix1818]

Nie zrozumiałem ale zaraz to przeanalizuje i ci napisze ładnie zadanie.

[Szymonix1818]

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne, których objętość jest równa 16. Wyznacz, dla jakich długości krawędzi pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie najmniejsze oraz oblicz to najmniejsze pole.

wyznaczyłem już tak;
\(Pp = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}\)
\(V = \frac{1}{3} \cdot Pp \cdot H\)
\(Pc = 3 \cdot a \cdot H + 2 \cdot Pp\)
\(16= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(192= a^2 \cdot H\)
\(64 \sqrt{3} =a^2 \cdot H\)
\(H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}\)
podstawiamy H i mamy

\(Pc= \sqrt{3}( \frac{192}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
teraz liczymy pochodną czyli:
\(a \in (0,+ \infty )\)
\(f'(x)= \frac{2a \cdot 2 - a^2 \cdot 0}{4} + \frac{0 \cdot a - 192}{a^2}\)
teraz porównałem ją do 0
i wyszło że \(a=4 \sqrt[3]{3}\)
czyli:
funkcja mniejsza od zera dla \(a \in (0,4 \sqrt[3]{3} )\)
funkcja wjększa od zera dla \(a \in ( 4 \sqrt[3]{3} , \infty )\)
czyli:
funkcja maleje w przedziale \((0,4 \sqrt[3]{3} >\)
funkcja rośnie w przedziale\( < 4 \sqrt[3]{3} , \infty )\)

i teraz nie jestem w stanie obliczyć H gdyż ja podstawiam pod wzór H= \frac{64 \sqrt{3}}{a^2}
wydaje mi się, że będzie to \(H= \frac{4 \sqrt{3} }{ \sqrt[3]{9} }\) ale nie jestem pewien
Prosze bardzo o pomoc

[Jerry]

\(16= \color{red}{\frac{1}{3}} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(192= a^2 \cdot H\)

Po pierwsze: to miał być graniastosłup (tego nie zauważyłem). Po drugie:
\(192= a^2\color{red}{\sqrt3} \cdot H\)
i dobrze mi się wydawało... I te błędy utrudniły Ci dalsze rachunki.

Pozdrawiam

[Szymonix1818]

czyli jak mam:
\(Pc = \sqrt{3} ( \frac{192}{a} + \frac{a^2}{2}) \)
to wtedy rozdzielam to na takie wyrażenie \(Pc= \sqrt{3} ( \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{32}{a} +\frac{a^2}{2})\)

czyli tak jak napisałeś wcześniej że \(a=4 \) czyli \(H=8 \sqrt{3}\)
co daje nam potem \(Pc= 96 \sqrt{3} \)

[Szymonix1818]

\(16= \color{red}{\frac{1}{3}} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(192= a^2 \cdot H\)

Po pierwsze: to miał być graniastosłup (tego nie zauważyłem). Po drugie:
\(192= a^2\color{red}{\sqrt3} \cdot H\)
i dobrze mi się wydawało... I te błędy utrudniły Ci dalsze rachunki.

Pozdrawiam

Okej widze to graniastosłup nie ostrosłup. źle najpierw sobie napisałem i leciałem z tym błędem

[Szymonix1818]

[Szymonix1818]

\(Pc=?\)
\(Pp= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \)
\(V= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(16=\frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H\)
\(64= a^2 \sqrt{3} \cdot H\)

\(H= \frac{64 \sqrt{3} }{3a^2} \)

\(Pc= \sqrt{3} ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
i teraz można to obliczyć na 2 sposoby albo pochodna, którą potem przyrównujesz do zera aby obliczyć minimum lokale dla \(a \in (0, \infty )\)
albo poprzez podstawianie.
\(a=4 \) bo\( Pc= \sqrt{3}( \frac{32}{a} + \frac{32}{a} + \frac{a^2}{2} )\) to co napisał Jerry
a przez pochodną będzie tak
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)
\(f'(x)= \frac{0 \cdot a -64 \cdot 1}{a^2} + \frac{2a \cdot 2 - a^2 \cdot 0}{4} \)
\(f'(x)= - \frac{64}{a^2} + a\)
porównujemy do 0
\(\frac{-64}{a^2} + a =0\)
\(\frac{-64}{a^2}= -a / \cdot a^2\)
\(64=a^3\)
\(a=4\)
i teraz musimy to napisać na maturze
funkcja mniejsza od zera dla\( a \in (0,4)\)
funkcja wjększa od zera dla \( a \in ( 4, \infty )\)

funkcja maleje w przedziale \((0,4>\)
funkcja rośnie w przedziale \( <4 , \infty )\)
f minimum w \(a=4\)
czyli:
podstawiamy wszędzie\( a=4\)
\(H= \frac{64 \sqrt{3} }{3a^2} = \frac{64 \sqrt{3} }{3 \cdot 8} = \frac{4 \sqrt{3} }{3} \)
\(Pc= \sqrt{3} ( \frac{64}{4}+ \frac{16}{2} ) = 24 \sqrt{3} \)

Dziękuje za pomoc Jerry

[Icanseepeace]

a przez pochodną będzie tak
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)

albo:
\( f(a) = ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} ) \)
albo:
\( f(x) = ( \frac{64}{x} + \frac{x^2}{2} ) \)
ale na pewno nie:
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)

[Szymonix1818]

a przez pochodną będzie tak
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)

albo:
\( f(a) = ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} ) \)
albo:
\( f(x) = ( \frac{64}{x} + \frac{x^2}{2} ) \)
ale na pewno nie:
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)

Tak to prawda powinno być a zamiast x

[Jerry]

...funkcja mniejsza od zera dla \( a \in (0,4)\)
funkcja wjększa od zera dla \( a \in ( 4, \infty )\)...

Raczej funkcja pochodnej albo po prostu pochodna
I dalej - wg mnie OK.

Pozdrawiam