Dowód
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Dowód
Trzeba udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej\( n \), liczba \(10^n+4^n-2\) jest liczbą podzielną przez 3. Da się to zrobić wnioskując o jakichś parzystościach takiego wyrażenia \(2(5^n+2^n-1)\) czy nie?
- Jerry
- Expert
- Posty: 3540
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1946 razy
Re: Dowód
Ale
\(10^n+4^n-2\ne2(5^n+2^n-1)\), bo np. \(2\cdot5^n\ne10^n=2^n\cdot5^n\)
Ja bym poszedł w
\(10^n+4^n-2=(10^n-1)+(4^n-1)=\ldots\)
i kontynuacja wzorem ze ściągawki maturalnej:
\[a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\ldots+a+1)\]
Pozdrawiam
\(10^n+4^n-2\ne2(5^n+2^n-1)\), bo np. \(2\cdot5^n\ne10^n=2^n\cdot5^n\)
Ja bym poszedł w
\(10^n+4^n-2=(10^n-1)+(4^n-1)=\ldots\)
i kontynuacja wzorem ze ściągawki maturalnej:
\[a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\ldots+a+1)\]
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3540
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1946 razy
Re: Dowód
Chcesz - masz, zrozumiesz - dobrze, ale mojego komentarza już więcej w wątku nie będzie!
\(1^\circ\quad\)Sprawdźmy dla \(n=1\): \(m_1=10^1+4^1-2=12=3\cdot4\)
\(2^\circ\quad\)Załóżmy, że dla pewnego \(n=k\ge1\) istnieje liczba całkowita \(q_k\) taka, że \(m_k=10^k+4^k-2=3\cdot q_k\) i sprawdźmy czy istnieje liczba całkowita \(q_{k+1}\) taka, że \(m_{k+1}=10^{k+1}+4^{k+1}-2=3\cdot q_{k+1}\):
\(L_T=m_{k+1}=10^{k+1}+4^{k+1}-2=10\cdot10^k+4\cdot4^k-2=6\cdot10^k+4(10^k+4^4-2)+6\nad{\text{z Z}}{=}6\cdot10^k+4\cdot3\cdot q_k+6=\\ \quad\quad=3(2\cdot10^k+4\cdot q_k+2)\\
L_T=P_T\iff q_{k+1}=(2\cdot10^k+4\cdot q_k+2)\in\zz\)
Ponieważ wykazaliśmy podzielność dla \(n=1\) i z podzielności dla dowolnego \(n\ge1\) wywnioskowaliśmy podzielność dla następnego \(n\), to na mocy zasady indukcji matematycznej zupełnej możemy stwierdzić, że podzielność zachodzi dla każdego \(n\) naturalnego dodatniego. CKD
Pozdrawiam
\(1^\circ\quad\)Sprawdźmy dla \(n=1\): \(m_1=10^1+4^1-2=12=3\cdot4\)
\(2^\circ\quad\)Załóżmy, że dla pewnego \(n=k\ge1\) istnieje liczba całkowita \(q_k\) taka, że \(m_k=10^k+4^k-2=3\cdot q_k\) i sprawdźmy czy istnieje liczba całkowita \(q_{k+1}\) taka, że \(m_{k+1}=10^{k+1}+4^{k+1}-2=3\cdot q_{k+1}\):
\(L_T=m_{k+1}=10^{k+1}+4^{k+1}-2=10\cdot10^k+4\cdot4^k-2=6\cdot10^k+4(10^k+4^4-2)+6\nad{\text{z Z}}{=}6\cdot10^k+4\cdot3\cdot q_k+6=\\ \quad\quad=3(2\cdot10^k+4\cdot q_k+2)\\
L_T=P_T\iff q_{k+1}=(2\cdot10^k+4\cdot q_k+2)\in\zz\)
Ponieważ wykazaliśmy podzielność dla \(n=1\) i z podzielności dla dowolnego \(n\ge1\) wywnioskowaliśmy podzielność dla następnego \(n\), to na mocy zasady indukcji matematycznej zupełnej możemy stwierdzić, że podzielność zachodzi dla każdego \(n\) naturalnego dodatniego. CKD
Pozdrawiam
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Dowód
Dlaczego nie użyć kongruencji?
https://www2.im.uj.edu.pl/LeszekPieniaz ... est-5.html
W mojej opinii są najprostszym sposobem na takie zadania.
https://www2.im.uj.edu.pl/LeszekPieniaz ... est-5.html
W mojej opinii są najprostszym sposobem na takie zadania.
-
- Fachowiec
- Posty: 1613
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Dowód
Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej \( n \) prawdziwe jest zdanie:
\( T(n): \) Liczba \( 10^{n} + 4^{n} -2 \) jest podzielna przez \( 3.\)
Założenie to zapiszemy w postaci równoważnej.
Istnieje taka liczba naturalna \( a_{n} \) , że \( 10^{n} + 4^{n} -2 = 3 a_{n} \)
Sprawdzenie
1) Zdanie
\( T(1): \) Istnieje taka liczba \( a_{1}\), że \( 10^1 +4^1 -2 = 3a_{1} \)
jest zdaniem prawdziwym, bo \( 10^1 +4^1 -2 = 10 + 4 - 2 = 12 = 3\cdot 4.\)
Założenie indukcyjne.
2) Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej \( k \) prawdziwe jest zdanie:
\(T(k):\) istnieje taka liczba naturalna \( a_{k} \), że \( 10^{k} +4^{k}-2 = 3a_{k}.\)
Krok indukcyjny.
Wykażemy prawdziwość zdania
\( T(k+1): \) istnieje taka liczba naturalna \( a_{k+1} \), że \( 10^{k+1} +4^{k+1}-2 = 3a_{k+1}.\)
Przekształcając lewą stronę tego wzoru \( 10^{k+1} +4^{k+1} -2 =3a_{k+1} \) i korzystając z prawdziwości zdania \( T(k)\) (założenie idukcyjne), otrzymujemy
\( 10^{k+1} +4^{k+1} -2 = 10\cdot 10^{k} +4\cdot 4^{k} - 2 = 10(10^{k} +4^{k}-2) - 6\cdot 4^{k} +18 = 10(10^{k}+4^{k}-2) -3 (2\cdot 4^{k}-6) = 3a_{k+1}.\)
gdzie
\( a_{k+1}= 10a_{k} - 3(2\cdot 4^{k} -6) \)
Odjemna różnicy jest podzielna przez \( 3 \) z założenia indukcyjnego. Odjemnik jest podzielny przez \( 3.\) Różnica dwóch liczb podzielnych przez \( 3 \) jest podzielna przez \( 3.\)
Zdanie \( T(k+1) \) jest prawdziwe.
Wykazaliśmy, że
1) Zdanie \( T(1) \) jest prawdziwe.
2) Dla każdej liczby naturalnej \( k \) z prawdziwości zdania \( T(k) \) wynika prawdziwość zdania \( T(k+1).\)
Na podstawie zasady indukcji zupełnej, dla każdego \( n\in \nn \) zdanie \( T(n) \) jest zdaniem prawdziwym.
\( \Box \)
\( T(n): \) Liczba \( 10^{n} + 4^{n} -2 \) jest podzielna przez \( 3.\)
Założenie to zapiszemy w postaci równoważnej.
Istnieje taka liczba naturalna \( a_{n} \) , że \( 10^{n} + 4^{n} -2 = 3 a_{n} \)
Sprawdzenie
1) Zdanie
\( T(1): \) Istnieje taka liczba \( a_{1}\), że \( 10^1 +4^1 -2 = 3a_{1} \)
jest zdaniem prawdziwym, bo \( 10^1 +4^1 -2 = 10 + 4 - 2 = 12 = 3\cdot 4.\)
Założenie indukcyjne.
2) Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej \( k \) prawdziwe jest zdanie:
\(T(k):\) istnieje taka liczba naturalna \( a_{k} \), że \( 10^{k} +4^{k}-2 = 3a_{k}.\)
Krok indukcyjny.
Wykażemy prawdziwość zdania
\( T(k+1): \) istnieje taka liczba naturalna \( a_{k+1} \), że \( 10^{k+1} +4^{k+1}-2 = 3a_{k+1}.\)
Przekształcając lewą stronę tego wzoru \( 10^{k+1} +4^{k+1} -2 =3a_{k+1} \) i korzystając z prawdziwości zdania \( T(k)\) (założenie idukcyjne), otrzymujemy
\( 10^{k+1} +4^{k+1} -2 = 10\cdot 10^{k} +4\cdot 4^{k} - 2 = 10(10^{k} +4^{k}-2) - 6\cdot 4^{k} +18 = 10(10^{k}+4^{k}-2) -3 (2\cdot 4^{k}-6) = 3a_{k+1}.\)
gdzie
\( a_{k+1}= 10a_{k} - 3(2\cdot 4^{k} -6) \)
Odjemna różnicy jest podzielna przez \( 3 \) z założenia indukcyjnego. Odjemnik jest podzielny przez \( 3.\) Różnica dwóch liczb podzielnych przez \( 3 \) jest podzielna przez \( 3.\)
Zdanie \( T(k+1) \) jest prawdziwe.
Wykazaliśmy, że
1) Zdanie \( T(1) \) jest prawdziwe.
2) Dla każdej liczby naturalnej \( k \) z prawdziwości zdania \( T(k) \) wynika prawdziwość zdania \( T(k+1).\)
Na podstawie zasady indukcji zupełnej, dla każdego \( n\in \nn \) zdanie \( T(n) \) jest zdaniem prawdziwym.
\( \Box \)