Jak to rozwiązać? Wyznacz wszystkie liczby zespolone

[autominus]

Witam,
Czy mógłbym prosić o wytłumaczenie krok po kroku jak rozwiązać takie zadanie:

Treść:
Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone 𝒛 , dla których wyrażenie jest liczbą czysto urojoną.
\((1+z)(1−z)^{−1}\)

Z góry bardzo dziękuję za pomoc.

[janusz55]

\( w = \frac{1+z}{1-z}. \)

NIech

\( z = x+iy, \ \ x,y \in \rr\) i \( z\neq 1.\)

\( w= \frac{1+z}{1-z} = \frac{1 + x +iy}{1 - x -iy} = \frac{(1+x) +iy}{(1-x) -iy} = \frac{[(1+x)+iy][(1-x)+iy]}{[(1-x)-iy][(1-x)+iy]} = \frac{1-x^2+(1+x)iy +(1-x)iy +y^2}{(1-x)^2+y^2} = \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2} + \frac{iy(1+x+1-x)}{(1-x)^2 +y^2} = \frac{ 1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2} + i\frac{2y}{(1-x)^2+y^2}\)

\( \Re(w) = 0 \Longleftrightarrow \frac{ 1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2} =0 \Longleftrightarrow 1-x^2-y^2 = 0 \Longleftrightarrow x^2+y^2=1
\)

Są to wszystkie liczby zespolone \( z \neq 1, \) dla których \( |z| = \sqrt{x^2+y^2} = 1\)

czyli

\( \{ z: -1 < \Re (z)< 1 \wedge \Im (z) = -\sqrt{1-\Re (z^2)}\} \cup \{ z: -1 < \Re (z)< 1 \wedge \Im z = \sqrt{1-\Re (z^2})\}. \)

[Jerry]

Są to wszystkie liczby zespolone \( z \neq 1, \) dla których \( |z| = \sqrt{x^2+y^2} = 1\)

czyli ...

pisząc przyjaźnie, są to wszystkie liczby zespolone obrazowane na płaszczyźnie Gaussa przez punkty okręgu \(x^2+y^2=1\) takie, że \(y\ne0\).

Pozdrawiam
PS. Na tamtym forum jest bardzo sympatyczne rozstrzygnięcie

[janusz55]

To zależy, co się rozumie przez przyjazne rozwiązanie- bardziej czytelne, bardziej zrozumiałe?
Znam to rozwiązanie Kol. Dasio11 na "tamtym forum". Czy one jest bardziej zrozumiałe? Trudno powiedzieć.
Chyba ta Twoja interpretacja geometryczna jest najbardziej zrozumiała.
Ponadto nie przenoszę rozwiązań zadań z jednego forum na drugie.

[Jerry]

Akurat myślałem o rozwiązaniu kerajsa.

Pozdrawiam