a) "znajdź postać algebraiczną i zaznacz na płaszczyźnie"- pierwiastek czwartego stopnia z liczby zespolonej
(-2+2pierw3i)^1/4 lub jak kto woli (-2+2sqrt(3)i)^1/4
wyszły mi inne wyniki niż sprawdzałem na wolframie
moje wyniki: z0= -pierw2/2 + pierw6/2 i
z1= -pierw6/2 - pierw2/2 i
z2= pierw2/2 - pierw6/2 i
z3= pierw6/2 + pierw2/2 i
b) "znajdź postać trygonometryczną liczby sina + icosa"
tutaj to rozumiem na zasadzie żeby przekształcić powyższe wyniki do postaci trygonometrycznej z kątem fi do wzoru |z|(sinfi + icosfi)- co dałoby nam 4 wyniki bo stopień 4
tylko coś ta kolejność zapisu w zadaniu mi nie pasuje bo przy części urojonej jest sinus a w zadaniu dali cosinus
Z góry dzięki za wszelkie porady i wskazówki
Jak to rozwiązać? Zadanie z pierwiastkowania liczb zespolonych.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1585
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 417 razy
Re: Jak to rozwiązać? Zadanie z pierwiastkowania liczb zespolonych.
Proszę wyznaczyć wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby \( w = -2 + i 2\sqrt{3}.\)
Jeśli \( w = |w| (\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))\neq 0,\) to pierwiastkami stopnia \( n \) z \( w \) są liczby postaci:
\( \sqrt[n]{|w|} \left( \cos(\frac{\alpha + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\alpha + 2\pi k}{n} \right). \ \ k = 0, 1, 2, 3.\)
\( |w| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{ 4 + 4\cdot 3} = \sqrt{4 +12} = \sqrt{16} = 4.\)
\( \begin{cases} \cos(\alpha) = \frac{x}{|w|} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \\ \sin(\alpha) = \frac{y}{|w|} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} \)
\( \alpha = \frac{2}{3}\pi \)-
\( w_{0} = \sqrt[4]{16} \left[\cos\left(\frac{2}{3\cdot 4} \pi \right) + i\sin \left(\frac{2}{3\cdot 4}\pi \right)\right] = 2 \left[\cos\left(\frac{1}{6}\pi \right) + i\sin\left(\frac{1}{6}\pi \right) \right] = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}+ i\frac{1}{2}.\)
\( w_{1} = \sqrt[4]{16} \left[\cos\left(\frac{\frac{2}{3}\pi + 2\pi}{4} \right) + i\sin \left(\frac{\frac{2}{3}\pi +2\pi}{4} \right)\right]= 2 \left[\cos\left(\frac{2}{3}\pi \right) + i\sin\left(\frac{2}{3}\pi \right) \right] = 2\left[ -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right] = -1 + i\sqrt{3}.\)
\( w_{2} = \ \ ... \)
\( w_{3} = \ \ ... \)
Na płaszczyźnie \( C \) rysujemy okrąg o środku w punkcie \( O(0,0) \) i promieniu \( |z| = r = 4.\) Zaznaczamy na okręgu punkty \( w_{0}, w_{1}, w_{3}, w_{4} \).
Łączymy zaznaczone punkty z punktem \( O(0,0).\)
Proszę pisać treści zadań - czytelnie, używając edytora \( \LaTeX.\)
Jeśli \( w = |w| (\cos(\alpha) + i\sin(\alpha))\neq 0,\) to pierwiastkami stopnia \( n \) z \( w \) są liczby postaci:
\( \sqrt[n]{|w|} \left( \cos(\frac{\alpha + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\alpha + 2\pi k}{n} \right). \ \ k = 0, 1, 2, 3.\)
\( |w| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{ 4 + 4\cdot 3} = \sqrt{4 +12} = \sqrt{16} = 4.\)
\( \begin{cases} \cos(\alpha) = \frac{x}{|w|} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \\ \sin(\alpha) = \frac{y}{|w|} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} \)
\( \alpha = \frac{2}{3}\pi \)-
\( w_{0} = \sqrt[4]{16} \left[\cos\left(\frac{2}{3\cdot 4} \pi \right) + i\sin \left(\frac{2}{3\cdot 4}\pi \right)\right] = 2 \left[\cos\left(\frac{1}{6}\pi \right) + i\sin\left(\frac{1}{6}\pi \right) \right] = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}+ i\frac{1}{2}.\)
\( w_{1} = \sqrt[4]{16} \left[\cos\left(\frac{\frac{2}{3}\pi + 2\pi}{4} \right) + i\sin \left(\frac{\frac{2}{3}\pi +2\pi}{4} \right)\right]= 2 \left[\cos\left(\frac{2}{3}\pi \right) + i\sin\left(\frac{2}{3}\pi \right) \right] = 2\left[ -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right] = -1 + i\sqrt{3}.\)
\( w_{2} = \ \ ... \)
\( w_{3} = \ \ ... \)
Na płaszczyźnie \( C \) rysujemy okrąg o środku w punkcie \( O(0,0) \) i promieniu \( |z| = r = 4.\) Zaznaczamy na okręgu punkty \( w_{0}, w_{1}, w_{3}, w_{4} \).
Łączymy zaznaczone punkty z punktem \( O(0,0).\)
Proszę pisać treści zadań - czytelnie, używając edytora \( \LaTeX.\)
Re: Jak to rozwiązać? Zadanie z pierwiastkowania liczb zespolonych.
A tam przy w0 jak Pan podstawia to pod pierwiastkiem nie powinno być 4 ? Bo w końcu pierwiastek z modułu, a moduł wyszedł 4, a nie 16.