macierze

[igor234]

Które z ponizyszych macierzy sa zawsze rowne \( (A+B)^2 \)

\( A^2 + 2AB + B^2 , A(A +B) + B(A + B), (A+B)(B+A), A^2 + AB + BA +B^2 \)

jak to w ogole sprawdzic?

[janusz55]

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat dwumianu dla elementów z dowolnego ciała \( K\)

\( (a +b)^2 = a^2 +2a\cdot b + b^2, \ \ a,b \in K\)

\( (A+B)^2 = A^2 + 2A\cdot B + B^2 \) - równość zachodzi

\( A(A+B)+ B(A+B) = A^2 +A\cdot B +B\cdot A +B^2 \) nie jest równe, bo \( AB \neq BA, \) - mnożenie dowolnych macierzy nie jest przemienne
(równość prawdziwa dla macierzy przemiennych \( A\cdot B = B\cdot A. \)

......................................

[igor234]

a czemu mozna zapisac

bo wiadomo ze \( (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \)
i skad pewnosc ze mozna zapisac ze AB + BA to 2AB skoro to mnozenie macierzy nie jest przemienne?

[igor234]

rozumiem to tak
\((A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \)
i wydaje mi sie ze 1 nie jest rowne bo nie widze zeby AB + BA to 2AB

a reszta wydaje mi sie rowna

[janusz55]

Zapis \( (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \) jest prawdziwy tylko wtedy, gdy \( A\cdot B + B\cdot A = 2A\cdot B,\) czyli, gdy \( A\cdot B = B\cdot A\) - macierze są przemienne.

[igor234]

ale skad mozemy to wnioskowac? Nie rozumiem

mi chodzi ze rozwieniecei wzoru to
\((A+B)^2 =(A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2\)

i jak mam stwierdzic czy zawsze A+B + BA = 2AB bo tylko wtedy to pierwsze rownanie bedzie sie rownac

[janusz55]

We wzorze \( ( A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 = A^2 + A\cdot B + A\cdot B +B^2 \) musi wystąpić dwa razy iloczyn \( A\cdot B. \)

Jeśli oprócz pojedynczego \( A\cdot B \) występuje iloczyn \( B\cdot A, \) to wzór dla dowolnych macierzy \( A, B \) nie jest prawdziwy, bo mnożenie macierzy nie jest działaniem przemiennym.

[igor234]

no wiec \((A +B)^2 =/= A^2+2AB+B^2 w ogolnosci \)

[igor234]

wiec pierwzze sie nie zgadza

[janusz55]

Pierwsze równanie macierzowe jest poprawne- zgadza się, bo występuje podwójny iloczyn macierzy \( 2A\cdot B \) nie występuje suma ilozynów iloczynów: \( A\cdot B + B\cdot A.\)

[igor234]

ale 2AB wystepuje w wzorze skroconego mnozenia bo ale jest to AB + BA i piszemy ze to 2 AB bo mnozenie jest przemienne ale jak moza w przypadku macierzy rozwijac wzor skroconego mnozenia dla kazdej macierzy ktora nie jest przemienna ze to jest 2AB

[janusz55]

Nie rozumiem !

[igor234]

Które z ponizyszych macierzy sa zawsze rowne \( (A+B)^2\)

A to macierz A B to macierz B
wiec
\( (A+B)^2 =\) iloczyn sum macierzy A I B
\( (A+B)^2 = (A+B )(A+B)\)
\(A^2 + AB + BA + B^2\) wymnozone po kolei nawiasy

wiec wychodzi ze \( (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2\)
wg mnie nie mozna napisac ze dla macierzy nieokreslonych nijak prawda jest ze AB + BA jest rowna 2AB bo mnozenie macierzy nie jest przemienne
wiec AB nie rowna sie BA wiec nie mozna tego przegrupowac jako 2AB

co oznacza ze \( (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2\)

i pytanie brzmi czy \( (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2\) rowna sie \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) wiec stwierdzam ze sie nie rowna