Statystyka, testowanie wariancji, ANOVA (zadanie 1)

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Johnyppp
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 13
Rejestracja: 07 cze 2022, 16:15
Podziękowania: 12 razy

Statystyka, testowanie wariancji, ANOVA (zadanie 1)

Post autor: Johnyppp »

Pomiary napięcia prądu mają rozkład normalny. Dokonano 150 niezależnych pomiarów napięcia i otrzymano s2 (wariancja z próby) 1,4. Na poziomie istotności α = 0,04 sprawdzić hipotezę, że wariancja pomiarów wynosi 1,2.
UWAGA: w zadaniu należy zapisać hipotezę
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1679
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 437 razy

Re: Statystyka, testowanie wariancji, ANOVA (zadanie 1)

Post autor: janusz55 »

Założenie:

\( U \sim \mathcal{N}(m, \sigma).\)

Dane:

\( n = 150, \ \ s^2 = 1,4, \ \ \alpha = 0,04.\)

Hipotezy:

\( H_{0}: \sigma^2 = 1,2, \)

\( H_{1}: \sigma^2 \neq 1,2.\)

Próba duża: \( n = 150 >30.\)

W związku z tym zastosujemy statystykę:

\( Z= \sqrt{2\chi^2} - \sqrt{2\nu -1} = \sqrt{2\chi^2}- \sqrt{2n-3}.\)

gdzie:

statystyka

\( \chi^2 = \frac{n\cdot S^2}{\sigma^2_{0}}.\)

Statystyka \( Z \), przy prawdziwości hipotezy \( H_{0} \) ma rozkład asymptotycznie normalny \( \mathcal{N}(0,1) \).

Obliczamy wartość statystyki \( Z \) dla danych z próby:

\( z = \sqrt{\frac{2\cdot 150 \cdot 1,4}{1,2}} - \sqrt{2\cdot 150 -3} \approx 1,47.\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

 z = sqrt((2*150*1.4)/(1.2))- sqrt(2*150-3)[tex]
> z
[1] 1.474599
Obszar krytyczny testu \( \mathcal{K} \) (dwustronny).

Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R, odczytujemy wartość zmiennej \( z \) dla prawdopodobieństwa \( \frac{\alpha}{2} =\frac{0,04}{2} = 0,02\) i dla \( 1- \frac{\alpha}{2} = 1- \frac{0,04}{2} = 1 - 0,02 = 0,98.\) .

Program R

Kod: Zaznacz cały

[1] 
> qnorm(0.02)
[1] -2.053749
> qnorm(0.98)
[2] 2.053749
\( \mathcal{K} = (-\infty, \ \ -2,05) \cup ( 2,05, \ \ +\infty).\)


Wartość statystyki z próby \( z = 1,47 \notin \mathcal{K} = (-\infty, \ \ -2,05] \cup [2,05, \ \ +\infty).\)

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy \( H_{0}\), że wariancja pomiarów napięcia prądu wynosi \( 1,2.\)