Jak w tytule
\(y=\ln \frac{e^x+1}{e^x-1}, 2 \le x \le 3\)
Pochodną mam obliczoną znam wzór ale nie wiem jakie tu podstawienia dac
Oblicz długość krzywych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1585
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 417 razy
Re: Oblicz długość krzywych
\( y(x) = \ln\frac{e^{x} +1}{e^{x} -1}, \ \ 2 \leq x \leq 3.\)
\( \mathcal{L} = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + y'^2(x)} dx.\)
\( y'(x) = \frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\cdot \frac{e^{x}(e^{x}-1)- (e^{x}+1)e^{x}}{(e^{x}-1)^2} = \frac{e^{x}(e^{x}-1) -(e^{x}+1)e^{x}}{e^{2x}-1} = \frac{e^{x}(e^{x}-1- e^{x}-1)}{e^{2x}-1} = \frac{-2e^{x}}{e^{2x}-1}.\)
\( y'^{2}(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2}.\)
\( 1 + y'^2(x) = 1 + \frac{4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2} = \frac{(e^{2x}-1)^2 +4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2} = \frac{e^{2x} -2e^{2x}+1+4e^{2}}{(e^{2x}-1)^2} = \frac{e^{4x} +2e^{2x}+1}{(e^{2x}-1)^2} = \frac{(e^{2x}+1)^2}{(e^{2x}-1)^2}. \)
\( \sqrt{1 + y'^{2}(x)}= \sqrt{\frac{(e^{2x}+1)^2}{(e^{2x}-1)^2}} = \frac{e^{2x} +1}{e^{2x}-1} = \frac{e^{x}(e^{x}+e^{-x})}{e^{x}(e^{x}-e^{-x})}= \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}.\)
\( \mathcal{L} = \int_{2}^{3} \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} dx = \int_{2}^{3}\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} dx = [podstawienia: \ \ \sinh(x) =t, \ \ \cosh(x)dx = dt ]\)
\( \begin{array}{|c|c|c|} \hline
x & 2 & 3 \\ \hline
t & \sinh(2) & \sinh(3) \\ \hline
\end{array}. \)
\( \mathcal{L} = \int_{\sinh(2)}^{\sinh(3)}\frac{1}{t}dt = \left[ \ln(t)\right]_{\sinh(2)}^{\sinh(3)} = \ln(\sinh(3)) -\ln(\sinh(2)) = \ln\left(\frac{\sinh(3)}{\sinh(2)}\right) = \ln\left(\frac{e^{3}-e^{-3}}{e^{2} - e^{-2}}\right).\)
\( \mathcal{L} = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + y'^2(x)} dx.\)
\( y'(x) = \frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\cdot \frac{e^{x}(e^{x}-1)- (e^{x}+1)e^{x}}{(e^{x}-1)^2} = \frac{e^{x}(e^{x}-1) -(e^{x}+1)e^{x}}{e^{2x}-1} = \frac{e^{x}(e^{x}-1- e^{x}-1)}{e^{2x}-1} = \frac{-2e^{x}}{e^{2x}-1}.\)
\( y'^{2}(x) = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2}.\)
\( 1 + y'^2(x) = 1 + \frac{4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2} = \frac{(e^{2x}-1)^2 +4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2} = \frac{e^{2x} -2e^{2x}+1+4e^{2}}{(e^{2x}-1)^2} = \frac{e^{4x} +2e^{2x}+1}{(e^{2x}-1)^2} = \frac{(e^{2x}+1)^2}{(e^{2x}-1)^2}. \)
\( \sqrt{1 + y'^{2}(x)}= \sqrt{\frac{(e^{2x}+1)^2}{(e^{2x}-1)^2}} = \frac{e^{2x} +1}{e^{2x}-1} = \frac{e^{x}(e^{x}+e^{-x})}{e^{x}(e^{x}-e^{-x})}= \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}.\)
\( \mathcal{L} = \int_{2}^{3} \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} dx = \int_{2}^{3}\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} dx = [podstawienia: \ \ \sinh(x) =t, \ \ \cosh(x)dx = dt ]\)
\( \begin{array}{|c|c|c|} \hline
x & 2 & 3 \\ \hline
t & \sinh(2) & \sinh(3) \\ \hline
\end{array}. \)
\( \mathcal{L} = \int_{\sinh(2)}^{\sinh(3)}\frac{1}{t}dt = \left[ \ln(t)\right]_{\sinh(2)}^{\sinh(3)} = \ln(\sinh(3)) -\ln(\sinh(2)) = \ln\left(\frac{\sinh(3)}{\sinh(2)}\right) = \ln\left(\frac{e^{3}-e^{-3}}{e^{2} - e^{-2}}\right).\)