Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie, tak, aby
dzienne koszty zużycia paliwa (w tys.zł) opisane funkcją:
f(x1,x2) = 2(1-x1)^2 + (3 - x2)^2
gdzie:
x1 - zużycie paliwa w elektrowni I,
x2 - zużycie paliwa w elektrowni II,
były możliwie najmniejsze. Wiadomo ponadto, że 1 t paliwa w elektrowni I uzyskuje się
5 MWh energii, a w elektrowni II – 3 MWh. Podać dzienne koszty zużycia paliwa w tych
elektrowniach.
Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 17 sty 2024, 18:53
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 17 sty 2024, 19:47
Re: Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie
Rozważamy zadanie minimalizacji funkcji celu:
f(x1,x2)=2(1−x1)2+(3−x2)2f(x1,x2)=2(1−x1)2+(3−x2)2
z ograniczeniem wynikającym z produkcji energii:
g(x1,x2)=5x1+3x2−100=0g(x1,x2)=5x1+3x2−100=0
Funkcja Lagrange'a dla tego problemu to:
L(x1,x2,λ)=f(x1,x2)+λg(x1,x2)L(x1,x2,λ)=f(x1,x2)+λg(x1,x2)
L(x1,x2,λ)=2(1−x1)2+(3−x2)2+λ(5x1+3x2−100)L(x1,x2,λ)=2(1−x1)2+(3−x2)2+λ(5x1+3x2−100)
Pochodne cząstkowe:
∂L∂x1=−4(1−x1)+5λ∂x1∂L=−4(1−x1)+5λ
∂L∂x2=−2(3−x2)+3λ∂x2∂L=−2(3−x2)+3λ
∂L∂λ=5x1+3x2−100∂λ∂L=5x1+3x2−100
Równania uzyskane z przyrównania powyższych pochodnych do zera:
4x1−5λ=−44x1−5λ=−4
−2x2+3λ=−6−2x2+3λ=−6
5x1+3x2−100=05x1+3x2−100=0
Mnożniki Lagrange'a:
λ=4x1+45λ=54x1+4
Podstawienie wartości λλ do równania 2:
−2x2+3(4x1+45)=−6−2x2+3(54x1+4)=−6
Rozwiązanie układu równań:
4x1−5λ=−44x1−5λ=−4
−2x2+3λ=−6−2x2+3λ=−6
5x1+3x2−100=05x1+3x2−100=0
Po rozwiązaniu otrzymujemy x1=11x1=11 i x2=15x2=15.
Dzienne koszty zużycia paliwa w elektrowniach to:
C1=5x1=5(11)=55C1=5x1=5(11)=55
C2=3x2=3(15)=45C2=3x2=3(15)=45
Ostateczne wyniki:
x1=11x1=11
x2=15x2=15
C1=55C1=55
C2=45C2=45
f(x1,x2)=2(1−x1)2+(3−x2)2f(x1,x2)=2(1−x1)2+(3−x2)2
z ograniczeniem wynikającym z produkcji energii:
g(x1,x2)=5x1+3x2−100=0g(x1,x2)=5x1+3x2−100=0
Funkcja Lagrange'a dla tego problemu to:
L(x1,x2,λ)=f(x1,x2)+λg(x1,x2)L(x1,x2,λ)=f(x1,x2)+λg(x1,x2)
L(x1,x2,λ)=2(1−x1)2+(3−x2)2+λ(5x1+3x2−100)L(x1,x2,λ)=2(1−x1)2+(3−x2)2+λ(5x1+3x2−100)
Pochodne cząstkowe:
∂L∂x1=−4(1−x1)+5λ∂x1∂L=−4(1−x1)+5λ
∂L∂x2=−2(3−x2)+3λ∂x2∂L=−2(3−x2)+3λ
∂L∂λ=5x1+3x2−100∂λ∂L=5x1+3x2−100
Równania uzyskane z przyrównania powyższych pochodnych do zera:
4x1−5λ=−44x1−5λ=−4
−2x2+3λ=−6−2x2+3λ=−6
5x1+3x2−100=05x1+3x2−100=0
Mnożniki Lagrange'a:
λ=4x1+45λ=54x1+4
Podstawienie wartości λλ do równania 2:
−2x2+3(4x1+45)=−6−2x2+3(54x1+4)=−6
Rozwiązanie układu równań:
4x1−5λ=−44x1−5λ=−4
−2x2+3λ=−6−2x2+3λ=−6
5x1+3x2−100=05x1+3x2−100=0
Po rozwiązaniu otrzymujemy x1=11x1=11 i x2=15x2=15.
Dzienne koszty zużycia paliwa w elektrowniach to:
C1=5x1=5(11)=55C1=5x1=5(11)=55
C2=3x2=3(15)=45C2=3x2=3(15)=45
Ostateczne wyniki:
x1=11x1=11
x2=15x2=15
C1=55C1=55
C2=45C2=45
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 17 sty 2024, 18:53
Re: Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie
Dziękuje, ale coś nie zgadzają mi się te obliczenia , czy na pewno jest to dobrze rozwiązane?
-
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 17 sty 2024, 19:47
Re: Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie
Sprawdziłem dwa razy poprawność obliczeń.