Nierówność trygonometryczna

[Maciek32]

Udowodnić, że \( \ctg\left( \frac{x}{4}\right) - \ctg(x) > 2\) dla \(0< x < \pi\)

Wytłumaczy ktoś taką metodę dowodu tego problemu?

używając tożsamości połowy kąta, przyjmijmy za \(t=\tan( \frac{x}{2}) \)

otrzymujemy
\(\ctg \left( \frac{x}{4}\right) - \ctg(x) =\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}+\frac1t-\frac {1-t^2}{2t}=\frac{t^2+2\sqrt{t^2+1}+1}{2t}> \frac{(t+1)^2}{2t}\ge 2\)

Czy takie podejście jest dobre jeśli ma ktoś jakiś inny sposób to proszę mi przedstawić, ale proszę też o wyjaśnienie.

[janusz55]

Proszę rozwiązać układ nierówności:

\( \begin{cases} \ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) -\ctg(x) >2 \\ 0< x< \pi \end{cases}. \)

\( \ctg\left( \frac{\pi}{4}\right) = 1.\)

\( 1 - \ctg(x) > 2.\)

\((\ctg(x) < -3) \wedge (0 < x <\pi), \)

\( \pi - \arcctg(3) < x < \pi.\)

[Maciek32]

Nie wiem dlaczego niby zamieniłeś ctg(x/4) na ctg(pi/4) ale OK.

[Jerry]

Po monicie w PW

Jerry możesz wytłumaczyć tę metodę z mojego posta?

Fakt: Dla dobrze określonego kata \(\alpha\) mamy
\[\sin\alpha=\frac{\left(2\sin{\alpha\over2}\cos{\alpha\over2}\right):\cos^2{\alpha\over2}}{\left(\cos^2{\alpha\over2}+\sin^2{\alpha\over2}\right):\cos^2{\alpha\over2}}\nad{\tg{\alpha\over2}=t}{=}\frac{2t}{1+t^2}\\
\cos\alpha=\ldots=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
\tg\alpha=\frac{2t}{1-t^2}\\ \ctg\alpha=\frac{1-t^2}{2t}\]
Wynika z tego, że
\[t=\tg{x\over2}=\frac{2\tg{x\over4}}{1-\tg^2{x\over4}}\\
t\tg^2{x\over4}+2\tg{x\over4}-t=0\]
Dla \(t\in(0;1)\), bo \({x\over2}\in\left(0;{\pi\over2}\right)\), mamy
\[\tg{x\over4}=\frac{\sqrt{1+t^2}-1}{t}\\ \ctg{x\over4}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}-1}=\frac{\sqrt{1+t^2}+1}{t}\]
Wstawiamy do lewej strony dowodzonej nierówności, wykorzystujemy:

• \(\sqrt{1+t^2}>\sqrt{t^2}=t\)
• \((1-t)^2\ge0\iff(1+t)^2\ge4t\)

i kończymy dowód.

Pozdrawiam
PS. Nikt nie nauczy się pływać tylko patrząc na pływaków