Niezależnośc liniowa wektorów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1592
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Pani Karoliko, ale \( \frac{-20}{20} = -1 \) i wtedy \( \cos(\phi) = -1, \ \ \phi = 180^{o} \) - wektory leżą na jednej prostej i mają zwroty przeciwne - są liniowo- zależne.
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 11 sty 2024, 22:12
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 1592
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Załóżmy, że wektory \( \vec{a}, \vec{b} \in E^2.\)
Niech ich współrzędne: \( \vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix}, \ \ \vec{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}. \)
Z treści zadania:
\( \parallel \vec{a}\parallel = \sqrt{a^2_{1} + a^2_{2}}=1 , \ \ \parallel \vec{b}\parallel = \sqrt{b^2_{1} + b^2_{2}}=2, \ \ \vec{a} \circ \vec{b} = a_{1}\cdot b_{1}+ a_{2}\cdot b_{2} = -2. \)
Jednym z rozwiązań tego układu równań jest para wektorów o współrzędnych: \( \vec{a}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}, \ \ \vec{b} = \begin{bmatrix} -2\\ 0\end{bmatrix}. \)
Obliczamy współrzędne wektorów \( \vec{u} \) i \(\vec{v}: \)
\( \vec{u} = 2\cdot \vec{a} - \vec{b} = 2\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4 \\ 0\end{bmatrix}. \)
\( \vec{v} = \vec{a} + 3\cdot \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} +3 \cdot \begin{bmatrix} -2\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -5 \\ 0\end{bmatrix}. \)
Badamy liniową niezależność wektorów \( \vec{u}, \vec{v}:\)
\( \alpha\cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{v} = \alpha \begin{bmatrix} 4 \\ 0\end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} -5 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix}, \ \ \alpha, \beta \in \rr. \)
Stąd
\( \begin{cases} 4\alpha - 5 \beta = 0, \\ 0\alpha + 0\beta = 0 \end{cases} \)
\( \alpha = \frac{5}{4} \beta, \ \ \alpha, \beta \in \rr.\)
Wektory \( \vec{u}, \ \ \vec{v} \) są liniowo - zależne.
Niech ich współrzędne: \( \vec{a}= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix}, \ \ \vec{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}. \)
Z treści zadania:
\( \parallel \vec{a}\parallel = \sqrt{a^2_{1} + a^2_{2}}=1 , \ \ \parallel \vec{b}\parallel = \sqrt{b^2_{1} + b^2_{2}}=2, \ \ \vec{a} \circ \vec{b} = a_{1}\cdot b_{1}+ a_{2}\cdot b_{2} = -2. \)
Jednym z rozwiązań tego układu równań jest para wektorów o współrzędnych: \( \vec{a}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}, \ \ \vec{b} = \begin{bmatrix} -2\\ 0\end{bmatrix}. \)
Obliczamy współrzędne wektorów \( \vec{u} \) i \(\vec{v}: \)
\( \vec{u} = 2\cdot \vec{a} - \vec{b} = 2\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -2\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4 \\ 0\end{bmatrix}. \)
\( \vec{v} = \vec{a} + 3\cdot \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} +3 \cdot \begin{bmatrix} -2\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -5 \\ 0\end{bmatrix}. \)
Badamy liniową niezależność wektorów \( \vec{u}, \vec{v}:\)
\( \alpha\cdot \vec{u} + \beta \cdot \vec{v} = \alpha \begin{bmatrix} 4 \\ 0\end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} -5 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix}, \ \ \alpha, \beta \in \rr. \)
Stąd
\( \begin{cases} 4\alpha - 5 \beta = 0, \\ 0\alpha + 0\beta = 0 \end{cases} \)
\( \alpha = \frac{5}{4} \beta, \ \ \alpha, \beta \in \rr.\)
Wektory \( \vec{u}, \ \ \vec{v} \) są liniowo - zależne.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Skoro znaleziono błąd rachunkowy w pierwszym, to wskażę merytoryczny w drugim.
Tu z równania:
Jak widać, badanie niezależności wektorów u i v wymaga tu badania niezależności wektorów a i b. (patrz post z 13 sty 2024, 09:23).
Trzeci sposób ( z 13 sty 2024, 20:44) trudno nazwać rozwiązaniem skoro dotyczy arbitralnie wybranego przykładu w arbitralnie wybranej przestrzeni .
Konkluzja: wydaje się iż najlepszym jest uniwersalny sposób zaproponowany przez Karolinę. Wymaga on jedynie uważności przy prostych rachunkach.
Tu z równania:
janusz55 tworzy układ
zakładając (bez sprawdzenia czy tak w istocie jest), że wektory a i b są niezależne (nie są równoległe). A że akurat tak tu nie jest, to zarówno układ jest błędny, jak i wniosek wynikający z jego rozwiązania.
Jak widać, badanie niezależności wektorów u i v wymaga tu badania niezależności wektorów a i b. (patrz post z 13 sty 2024, 09:23).
Trzeci sposób ( z 13 sty 2024, 20:44) trudno nazwać rozwiązaniem skoro dotyczy arbitralnie wybranego przykładu w arbitralnie wybranej przestrzeni .
Konkluzja: wydaje się iż najlepszym jest uniwersalny sposób zaproponowany przez Karolinę. Wymaga on jedynie uważności przy prostych rachunkach.
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 11
- Rejestracja: 11 sty 2024, 22:12
- Podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Ale można na spokojnie użyć tego pierwszego sposobu od Pana Janusza w którym był błąd rachunkowy?
-
- Fachowiec
- Posty: 1592
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Zadanie nie jest dokładnie sformułowane. Nie wiemy do jakich przestrzeni należą wektory \( \vec{a}, \vec{b}. \)
Jeden przykład w przestrzeni euklidesowej wymiaru \( 2 \) wystarcza, aby stwierdzić, że wektory \( \vec{u}, \ \ \vec{v} \) są liniowo-zależne.
Jeden przykład w przestrzeni euklidesowej wymiaru \( 2 \) wystarcza, aby stwierdzić, że wektory \( \vec{u}, \ \ \vec{v} \) są liniowo-zależne.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Niezależnośc liniowa wektorów
Oczywiście, że można. Niewiele się on różni od Twojego.Karolinka1231231 pisze: ↑14 sty 2024, 11:45 Ale można na spokojnie użyć tego pierwszego sposobu od Pana Janusza w którym był błąd rachunkowy?
Generalnie, można użyć dowolnego sposobu, byle w poprawny sposób.
Moim zdaniem zadanie jest wystarczająco dobrze sformułowane, w tym i dla przestrzeni o większych wymiarach niż 2.
Tak, wystarczy jeden przykład ogólny, a nie szczególny. I będzie on dotyczył jedynie
płaszczyzny.