Zadanie z losowaniem liczb

[GusiaTcz]

Ze zbioru liczb {1,2,…,2023} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo
tego, że wybrana liczba jest podzielna przez 6 lub przez 15.

[eresh]

Ze zbioru liczb {1,2,…,2023} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo
tego, że wybrana liczba jest podzielna przez 6 lub przez 15.

\(|\Omega|=2023\\\)


liczby podzielne przez 6:
\(6,12,18,...,2022\\
2022=6+(n-1)\cdot 6\\
2022=6+6n-6\\
n=337\)

liczby podzielne przez 15:
\(15,30,45, ..., 2010\\
2010=15+(m-1)\cdot 15\\
m=134\)

liczby podzielne przez 6 i przez 15:
\(30,60,..., 2010\\
2010=30+(k-1)\cdot 30\\
k=67\)

\(|A|=337+134-67=404\\
P(A)=\frac{404}{2023}\)

[janusz55]

Doświadczenie losowe wynikające z treści zadania polega na losowaniu jednej liczby ze zbioru liczbowego \( \{ 1,2, ..., 2023\} \)

Za zdarzenie elementarne przyjmujemy wylosowanie jednej liczby \( l, \) ze zbioru \( \{1,2,...,2023\} \).

Uznajemy wszystkie zdarzenia elementarne z jednakowo możliwe , wówczas modelem probabilistycznym rozważanego doświadczenia jest para \( (\Omega, P), \)

gdzie \( \Omega = \{l: \ \ l \in \{ 1,2, ... , 2023\}\}, \ \ P(\{l\}) = \frac{1}{2023}, \) dla każdego \( l\in\{1,2,...,2023\}.\)

Oznaczmy przez \( A \) zdarzenie, polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez \( 6, \)

przez \( B \) zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez \( 15 .\)

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo \( P(A \cup B).\)

Ponieważ:

\( |A| = \left[\frac{2023}{6} \right] = \left[ 337\frac{1}{6}\right] = 337. \)

W zbiorze \( \Omega \) znajduje się \( 337 \) liczb podzielnych przez \( 6.\)

\( |B| = \left[\frac{2023}{15} \right] = \left[ 134\frac{13}{15} \right] = 134.\)

W zbiorze \( \Omega \) znajduje się \( 134 \) liczb podzielnych przez \( 15.\)

\( |A\cap B| = \left[\frac{2023}{30}\right] = \left[67\frac{2}{30}\right] = 67.\)

W zbiorze \( \Omega \) znajduje się \( 67\) liczb podzielnych przez \( 6\) i \( 15 \) czyli przez \( 30.\)

\( |\Omega|= 2023.\)

Na mocy wzorów:

\( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \) i \( P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \)

\( P(A\cup B) = \frac{337}{2023} + \frac{134}{2023} - \frac{67}{2023} = \frac{404}{2023} \approx 0,2.\)

Skorzystaliśmy z symbolu \( [x] \), który oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od liczby \( x.\)

Losując jedną liczbę ze zbioru \( \{ 1,2,..., 2023\} \) możemy spodziewać się, że w około \( 20\% \) ogólnej liczby wyników, uzyskamy liczbę podzielną przez \( 6 \) lub przez \( 15 \) czyli przez \( 30.\)