Wartość najmniejsza i największa.
\(y=3x + 4\sqrt{1-x^2}\)
Bez pochodnych i granic poproszę.
Zbiór wartości, z rozwiązania równania
\(3x + 4\sqrt{1-x^2}=t\)
wychodzi mi \([-5;5]\), co nie jest prawdą.
Ekstrema funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Ekstrema funkcji
Dla \(-1 \le x<0\) oba składniki rosną więc najmniejszą wartością w tym przedziale będzie y(-1)=-3 (dla \(0 \le x \le 1\) oba składniki są nieujemne więc -3 jest wartością najmniejszą funkcji). Dla x=0 zachodzi y=4
\(0 < x \le 1\) oba składniki są dodatnie.
Niech x=sin t to \(\sqrt{1-x^2}=\cos t\) , a wtedy
\(y=3x + 4\sqrt{1-x^2}=5( \frac{3}{5} \sin t+ \frac{4}{5} \cos t )=5 \sin (t+\arccos \frac{3}{5}) \le 5 \cdot 1 \)
Zbiorem wartości jest przedział [-3,5]
\(0 < x \le 1\) oba składniki są dodatnie.
Niech x=sin t to \(\sqrt{1-x^2}=\cos t\) , a wtedy
\(y=3x + 4\sqrt{1-x^2}=5( \frac{3}{5} \sin t+ \frac{4}{5} \cos t )=5 \sin (t+\arccos \frac{3}{5}) \le 5 \cdot 1 \)
Zbiorem wartości jest przedział [-3,5]
- anka
- Expert
- Posty: 6589
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1119 razy
- Płeć:
Re: Ekstrema funkcji
Dostałam podpowiedź od "Jerry".
Zapomniałam o założeniu.
\(t-3x\ge0\), a to już rozwiązuje mój problem.
\(x\in[-1;1]\\3x\in[-3;3]\\t\in[-3;+\infty]\)
Ostatecznie \(t\in[-3;5]\)
Jeżeli chodzi o rozwiązanie podane wyżej, to nie jestem pewna, czy to jest rozwiązanie na poziomie szkoły średniej.
Jest może jakiś inny sposób?
Zapomniałam o założeniu.
\(t-3x\ge0\), a to już rozwiązuje mój problem.
\(x\in[-1;1]\\3x\in[-3;3]\\t\in[-3;+\infty]\)
Ostatecznie \(t\in[-3;5]\)
Jeżeli chodzi o rozwiązanie podane wyżej, to nie jestem pewna, czy to jest rozwiązanie na poziomie szkoły średniej.
Jest może jakiś inny sposób?
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Ekstrema funkcji
Można użyć pochodnej lub podnieść równanie stronami do kwadratu i wtedy znaleźć zbiór wartości.
Osobiście jednak jestem przy rozwiązaniu użytkownika kerajs z 6 stycznia.
Moim zdaniem nie ma w nim niczego co by wybiegało poza poziom szkoły średniej (chyba, że funkcje trygonometryczne już wyrzucili)
Osobiście jednak jestem przy rozwiązaniu użytkownika kerajs z 6 stycznia.
Moim zdaniem nie ma w nim niczego co by wybiegało poza poziom szkoły średniej (chyba, że funkcje trygonometryczne już wyrzucili)
- anka
- Expert
- Posty: 6589
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1119 razy
- Płeć:
Re: Ekstrema funkcji
To przejście jest w programie?
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
- anka
- Expert
- Posty: 6589
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1119 razy
- Płeć:
Re: Ekstrema funkcji
Podaję moje (z podpowiedzią @Jerry- dziękuję), może komuś się przyda.
Liczba \(t\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba \( x\), że\( f(x) = t\).
Musimy więc znaleźć te wartości \(t\), dla których równanie \(3x + 4\sqrt{1-x^2}=t\) ma co najmniej jedno rozwiązanie.
\(y=3x + 4\sqrt{1-x^2}\)
Dziedzina:
\(x\in[-1;1]\)
\(3x + 4\sqrt{1-x^2}=t\)
\( 4\sqrt{1-x^2}=t-3x\)
Założenie:
(lewa strona jet nieujemna, więc prawa też musi być nieujemna)
\(t-3x\ge0\)
\(t\ge3x\)
\(x\in[-1;1]\\3x\in[-3;3]\\t\in[-3;+\infty]\)
\( 4\sqrt{1-x^2}=t-3x\ \ \ |()^2\)
\(16(1-x^2)=t^2-6tx+9x^2\)
\(16-16x^2-t^2+6tx-9x^2=0\)
\(-25x^2+6tx+16-t^2=0\)
\(\Delta=(6t)^2-4\cdot(-25)(16-t^2)=36t^2+1600-100t^2=-64t^2+1600\)
(równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie, jeżeli \(\Delta\ge0\)).
\(-64t^2+1600\ge0\ \ \ |:(-64)\\
t^2-5\ge0\\
(t+5)(t-5)\ge0\\
t\in[-5;5]\)
Z założenia
\(t\in[-3;+\infty]\)
więc \(t\in[-3;5]\)
Liczba \(t\) należy do zbioru wartości funkcji \(f\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba \( x\), że\( f(x) = t\).
Musimy więc znaleźć te wartości \(t\), dla których równanie \(3x + 4\sqrt{1-x^2}=t\) ma co najmniej jedno rozwiązanie.
\(y=3x + 4\sqrt{1-x^2}\)
Dziedzina:
\(x\in[-1;1]\)
\(3x + 4\sqrt{1-x^2}=t\)
\( 4\sqrt{1-x^2}=t-3x\)
Założenie:
(lewa strona jet nieujemna, więc prawa też musi być nieujemna)
\(t-3x\ge0\)
\(t\ge3x\)
\(x\in[-1;1]\\3x\in[-3;3]\\t\in[-3;+\infty]\)
\( 4\sqrt{1-x^2}=t-3x\ \ \ |()^2\)
\(16(1-x^2)=t^2-6tx+9x^2\)
\(16-16x^2-t^2+6tx-9x^2=0\)
\(-25x^2+6tx+16-t^2=0\)
\(\Delta=(6t)^2-4\cdot(-25)(16-t^2)=36t^2+1600-100t^2=-64t^2+1600\)
(równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie, jeżeli \(\Delta\ge0\)).
\(-64t^2+1600\ge0\ \ \ |:(-64)\\
t^2-5\ge0\\
(t+5)(t-5)\ge0\\
t\in[-5;5]\)
Z założenia
\(t\in[-3;+\infty]\)
więc \(t\in[-3;5]\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.