lejek stozkowy, ktorego dlugosc promienia podstawy wynosi r, a wysokosc wynosi h, napelniono woda. w lejek zanurzono kule. jaki powinien byc promien kuli, by objetosc wody usunieta zanurzona czescia kuli byla najwieksza?
prosze o pomoc
optymalizacja zbior Stankiewicza
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1596
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: optymalizacja zbior Stankiewicza
Lejek stożkowy, którego długość promienia podstawy wynosi \( r \) a wysokość \( h \) napełniono wodą. W lejek zanurzono kulę.
Jaki powinien być promień kuli, żeby objętość wody usunięta zanurzoną częścią kuli
była największa?
Wykonujemy rysunek i dla uproszczenia rachunków wprowadzamy długość tworzącej stożka \( l. \)
Wskazówka:
Różnica między odległością środka kuli od wierzchołka stożka i promieniem kuli jest równa różnicy odległości między wysokością stożka i wysokością zanurzonego w wodzie odcinka kuli.
Jaki powinien być promień kuli, żeby objętość wody usunięta zanurzoną częścią kuli
była największa?
Wykonujemy rysunek i dla uproszczenia rachunków wprowadzamy długość tworzącej stożka \( l. \)
Wskazówka:
Różnica między odległością środka kuli od wierzchołka stożka i promieniem kuli jest równa różnicy odległości między wysokością stożka i wysokością zanurzonego w wodzie odcinka kuli.
-
- Stały bywalec
- Posty: 375
- Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
- Podziękowania: 346 razy
- Otrzymane podziękowania: 95 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 1596
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: optymalizacja zbior Stankiewicza
Szkoda, że Pani nie słyszała!
Odcinkiem kuli nazywamy każdą z dwóch części kuli, na które dzieli tę kulę płaszczyzna przechodząca przez jej wnętrze wraz z przekrojem kuli tą płaszczyzną.
Odcinkiem kuli nazywamy każdą z dwóch części kuli, na które dzieli tę kulę płaszczyzna przechodząca przez jej wnętrze wraz z przekrojem kuli tą płaszczyzną.
-
- Stały bywalec
- Posty: 375
- Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
- Podziękowania: 346 razy
- Otrzymane podziękowania: 95 razy
Re: optymalizacja zbior Stankiewicza
Upraszczajac zadanie optymalizacyjne sprowadza się do znalezienia promienia kuli o największej objętości wpisanej w stożek. Jak sobie zuzas narysujesz, to w przekroju otrzymasz okrąg wpisany w trójkąt równoramienny, a dalej z tw. Pitagorasa:
\((h-R)^2 =R^2 +(L-r)^2\), gdzie tworząca stożka \( L= \sqrt{h^2+r^2} \)
teraz wystarczy pobadać funkcję \(V(R)= \frac{4}{3} \pi R^3\) w dziedzinie 0<R<r.
\((h-R)^2 =R^2 +(L-r)^2\), gdzie tworząca stożka \( L= \sqrt{h^2+r^2} \)
teraz wystarczy pobadać funkcję \(V(R)= \frac{4}{3} \pi R^3\) w dziedzinie 0<R<r.
-
- Fachowiec
- Posty: 1596
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: optymalizacja zbior Stankiewicza
W rozwiązaniu zadania nie ma uproszczenia. Nie wpisujemy kuli w lejkowy stożek "suchy" i szukamy jej maksymalnego promienia lecz w stożek napełniony wodą. Obliczamy taki promień kuli, dla którego objętość wody częścią zanurzoną kuli jest maksymalna.
-
- Stały bywalec
- Posty: 375
- Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
- Podziękowania: 346 razy
- Otrzymane podziękowania: 95 razy
Re: optymalizacja zbior Stankiewicza
W takim razie w podstawie trójkąta będzie wpisany półokrag, ale metoda ta sama.
-
- Stały bywalec
- Posty: 375
- Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
- Podziękowania: 346 razy
- Otrzymane podziękowania: 95 razy
Re: optymalizacja zbior Stankiewicza
PS. Kula wyprze największą objętość wody z lejka jeśli zanurzy się całkowicie.