Dziedzina z parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 139
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 589 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Dziedzina z parametrem
Dla jakich m dziedzina funkcji \(y=\sqrt{3x^4-4x^3+6x^2-12x+m}\) jest rzeczywista?
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Dziedzina z parametrem
\( 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x + m = (x-1)^4 + 2(x^2 - 1)^2 + 4(x-1)^2 + m - 7 \)
Wystarczy aby
\( m \geq 7 \)
Można też użyć pochodnej -> Wszystkie ekstrema muszą być dodatnie.
Wystarczy aby
\( m \geq 7 \)
Można też użyć pochodnej -> Wszystkie ekstrema muszą być dodatnie.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Dziedzina z parametrem
Raczej nieujemne!
Pobawiłem się pochodną - liczy się bardzo fajnie. Jest jedno ekstremum: \(\begin{cases}x=1\\y_\min=m-7\end{cases}\).
Wtedy przyszło mi do głowy:
\(w(x)=3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x + m=(x-1)^2(3x^2+2x+7)+m-7\ge m-7\)
bo wyróżnik trójmianu w drugim nawiasie jest ujemny. Czyli, aby \(D=\rr\), musi \(m-7\ge0\).
Pozdrawiam
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Dziedzina z parametrem
Trafna sugestia, tak nieujemne.
Skoro już poruszyłeś temat to pozwolę sobie trochę doprecyzować moje stwierdzenie.
Sam fakt, że pewna funkcja g. Posiada wszystkie ekstrema dodatnie, wcale nie musi oznaczać, że ta funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie:
\( g(x) = 1 - x^4 \)
Dlatego poza wyznaczeniem ekstremum jest również do zrobienia (niestety) podstawowy przebieg zmienności funkcji.
Precyzuję ponieważ moje stwierdzenie "Wszystkie ekstrema muszą być dodatnie" może być trochę mylące.
Niezbędny jest również do przeprowadzenia przebieg zmienności (wystarczy monotoniczność)
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 139
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 589 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Re: Dziedzina z parametrem
@Icanseepeace: jak się znajduje taką postać wielomianu? Ja bym na to nie wpadła!
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Dziedzina z parametrem
Skojarzyłem współczynniki -4 , 6 z pewnym rzędem trójkąta Pascala i potem trochę szczęściem reszta też się pozwijała.anilewe_MM pisze: ↑09 gru 2023, 20:36 @Icanseepeace: jak się znajduje taką postać wielomianu? Ja bym na to nie wpadła!
Taki rozkład nie zawsze jest łatwo znaleźć. Dlatego:
Proponuję też abyś rozwiązała to zadanie metodą z pochodną.
Metoda jest bardziej schematyczna i pewnie pod nią są układane zadania na maturze.
Tak jak wspomniał Jerry, przyjemnie się liczy.