Hej, próbowałem nauczyć się podstaw algebry abstrakcyjnej i w związku z tym doszedłem do pytania. Czy możesz powiedzieć, że dodawany ciąg arytmetyczny jest grupą izomorficzną z dodawanymi liczbami całkowitymi?
Cały sens, dlaczego mógłbym tak pomyśleć, polega na tym, że różnica między dwoma elementami an i an+1 ciągu arytmetycznego jest taka sama. Ponieważ dotyczy to również liczb całkowitych, czy mógłbyś utworzyć bijekcję między liczbami całkowitymi a ciągiem arytmetycznym, czyniąc je względem siebie izomorficznymi?
Przepraszam, jeśli brzmię jak idiota. Jestem całkiem nowy w temacie.
Czy są to dwie grupy izomorficzne, czy nawet?
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 2059
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 489 razy
Re: Czy są to dwie grupy izomorficzne, czy nawet?
Różnice ciągów arytmetycznych nie muszą być liczbami całkowitymi. Dlatego taka bijekcja nie istnieje.
Grupy \( (G \cdot) , \ \ (H, \odot) \) są izomorficzne, piszemy \( G \cong H \), jeżeli istnieje funkcja \( \alpha: G\rightarrow H \), taka że:
\( (i) \ \ \alpha \) jest różnowartościowa;
\( (ii) \ \ \alpha \) jest "na";
\( (i), (ii) \ \ \alpha \) jest bijekcją;
\((iii) \ \ \alpha \) zachowuje działanie tzn.:\( \forall_{x,y\in G} \ \ \alpha(x\cdot y) = \alpha(x) \odot \alpha(y).\)
Funkcję \( \alpha \) nazywamy izomorfizmem grupy \( G \) na grupę \( H.\)
Przykład
Addytywna grupa liczb rzeczywistych \( (\rr, \ \ +) \) jest izomorficzna z multiplikatywną grupą liczb rzeczywistych dodatnich\( (\rr_{+}, \ \ \cdot).\)
Izomorfizmem jest tutaj każda funkcja wykładnicza \( f_{a}: \rr \rightarrow \rr+ \) określona wzorem \( f_{a}(x) = a^{x} \ \ a>0, a\neq 1, \) wzajemnie jednoznaczna i dla dowolnych \( x, y \in \rr, \ \ f_{a}(x+y) = a^{x+y} = a^{x}\cdot a^{y} = f_{a}(x)\cdot f_{a}(y).\)
Funkcja odwrotna \( f^{-1}_{a}(x) = \log_{a}(x) \) jest także izomorfizmem grup.
Grupy \( (G \cdot) , \ \ (H, \odot) \) są izomorficzne, piszemy \( G \cong H \), jeżeli istnieje funkcja \( \alpha: G\rightarrow H \), taka że:
\( (i) \ \ \alpha \) jest różnowartościowa;
\( (ii) \ \ \alpha \) jest "na";
\( (i), (ii) \ \ \alpha \) jest bijekcją;
\((iii) \ \ \alpha \) zachowuje działanie tzn.:\( \forall_{x,y\in G} \ \ \alpha(x\cdot y) = \alpha(x) \odot \alpha(y).\)
Funkcję \( \alpha \) nazywamy izomorfizmem grupy \( G \) na grupę \( H.\)
Przykład
Addytywna grupa liczb rzeczywistych \( (\rr, \ \ +) \) jest izomorficzna z multiplikatywną grupą liczb rzeczywistych dodatnich\( (\rr_{+}, \ \ \cdot).\)
Izomorfizmem jest tutaj każda funkcja wykładnicza \( f_{a}: \rr \rightarrow \rr+ \) określona wzorem \( f_{a}(x) = a^{x} \ \ a>0, a\neq 1, \) wzajemnie jednoznaczna i dla dowolnych \( x, y \in \rr, \ \ f_{a}(x+y) = a^{x+y} = a^{x}\cdot a^{y} = f_{a}(x)\cdot f_{a}(y).\)
Funkcja odwrotna \( f^{-1}_{a}(x) = \log_{a}(x) \) jest także izomorfizmem grup.