wyznacz wartości parametrów, aby funkcje były ciągłe

[yelan]

\(f(x)=\begin{cases}m \frac{4-x^2}{ \sqrt{x+6}-2 }+ \frac{ \pi }{4}, &-6<x<-2 \\ \frac{x(x+1)}{2}+ \arcctg k, & -2 \le x \le 0 \\ \frac{1}{4} \arctg( \pi + \ln x), & x>0\end{cases}
\\ g(x)=\begin{cases}\arcctg \frac{-x}{3-x}, & x<3 \\ 2k^2-3k+ \pi ,& x=3 \\ \pi +2e^{- \frac{1}{(x-3)^2}} ,& x>3\end{cases}\)

[Jerry]

\( g(x)=\begin{cases}\arcctg \frac{-x}{3-x}, & x<3 \\ 2k^2-3k+ \pi ,& x=3 \\ \pi +2e^{- \frac{1}{(x-3)^2}} ,& x>3\end{cases}\)

Ponieważ:

1. \(\Lim_{x\to3^-}g(x)=[\arcctg(-\infty)]=\pi\)
2. \(g(3)=2k^2-3k+ \pi\)
3. \(\Lim_{x\to3^+}g(x)=\left[\pi+2e^{-\infty}\right]=\pi\)

to trzeba i wystarczy
\[\pi=2k^2-3k=\pi\\
k=0\vee k={3\over2}\]
Pozdrawiam

[yelan]

a czemu w 1 i 3 \( \infty ?\)

[Jerry]

\(f(x)=\begin{cases}m \frac{4-x^2}{ \sqrt{x+6}-2 }+ \frac{ \pi }{4}, &-6<x<-2 \\ \frac{x(x+1)}{2}+ \arcctg k, & -2 \le x \le 0 \\ \frac{1}{4} \arctg( \pi + \ln x), & x>0\end{cases}\)

Pomocniczo: \(\Lim_{x\to-2^-}\frac{4-x^2}{ \sqrt{x+6}-2 }=\Lim_{x\to-2^-}\frac{(2-x)(2+x)( \sqrt{x+6}+2) }{x+6-4}=16\)

Jak poprzednio:

1. \(\Lim_{x\to-2^-}f(x)=16m+{\pi\over4}\)
2. \(f(-2)=\Lim_{x\to-2^+}f(x)=1+\arcctg k\)

Aby funkcja była ciągła w \(x=-2\) musi
\[16m+{\pi\over4}=1+\arcctg k\]
Analogicznie:

1. \(\Lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\arcctg k\)
2. \(\Lim_{x\to0^-}f(x)=\left[{1\over4}\cdot\arctg(\pi-\infty)\right]={1\over4}\cdot\left(-{\pi\over2}\right)=-{\pi\over8}\)

Aby funkcja była ciągła w \(x=0\) musi
\[\arcctg k=-{\pi\over8}\]

Aby funkcja była ciągła w \((-6;+\infty)\) musi zajść układ:
\[\begin{cases}16m+{\pi\over4}=1+\arcctg k\\\arcctg k=-{\pi\over8}\end{cases}\]
który zostawię Ci do samodzielnego rozwiązani

Pozdrawiam
PS. Wzór przepisałaś kompletny? Wygląda jakby brakowało jednego przedziału określoności...

[Jerry]

a czemu w 1 i 3 \( \infty ?\)

OK...

Pomocniczo:
Ad.1) \(\Lim_{x\to3^-}\frac{-x}{3-x}=\left[\frac{-3}{0^+}\right]=-\infty\)

Ad.3) \(\Lim_{x\to3^+}\frac{-1}{(x-3)^2}=\left[\frac{-1}{0^+}\right]=-\infty\)

Pozdrawiam
PS. Dla wyobraźni kilka wykresów

[yelan]

Pozdrawiam
PS. Wzór przepisałaś kompletny? Wygląda jakby brakowało jednego przedziału określoności...

wzory są w porządku https://pasteboard.co/UGZ19iO0kQba.jpg

[yelan]

\(f(x)=\begin{cases}m \frac{4-x^2}{ \sqrt{x+6}-2 }+ \frac{ \pi }{4}, &-6<x<-2 \\ \frac{x(x+1)}{2}+ \arcctg k, \end{cases}\)

powinno być arctg k zamiast cotanges przepraszam za błąd

[Jerry]

To niewiele zmienia, nic się nie stało... Układ i tak jest robialny!

Pozdrawiam