ciąg zbieżny

[yelan]

wykaż że ciąg jest zbieżny
\(a_n= \frac{1}{e+1}+ \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^n+n} \)
wychodzi że jest rosnący i ograniczony, ale nie rozumiem dlaczego rosnący skoro każdy następny wyraz tego ciągu jest mniejszy, ponieważ mianowniki są coraz większe, proszę o pomoc

[Icanseepeace]

\( a_{n+1} = \frac{1}{e + 1} + \ldots + \frac{1}{e^n + n} + \frac{1}{e^{n+1} + n+1} = a_n + \frac{1}{e^{n+1} + n+1} > a_n \)

[yelan]

a jak sprawdzić czy jest ograniczony?

[Jerry]

Wg mnie wystarczy
\(a_n= \frac{1}{e+1}+ \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^n+n}<\frac{1}{e}+ \frac{1}{e^2}+ \ldots + \frac{1}{e^n}\nad{n\to+\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{e-1}\)

Pozdrawiam

[janusz55]

Monotoniczność
\( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{1}{e+1} + \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^{n}+n} + \frac{1}{e^{n+1} +n+1}}{\frac{1}{e+1}+ \frac{1}{e^2+2}+ \ldots + \frac{1}{e^{n}+n}} = 1 +\frac{ \frac{1}{e^{n+1}+n+1}}{a_{n}} >1 \) dla każdego \( n \in \nn. \)

Ciąg \( (a_{n}) = \left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{e^{k}+ k}\right) \) jest ciągiem rosnącym.

Ograniczoność
\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{e^{k} + 1} < \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{e^{k}}\right) < \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{e^{k}} = \frac{\frac{1}{e}}{1 -\frac{1}{e}} = \frac{1}{e-1}. \)

Ciąg \( (a_{n}) jest zbieżny.\)