Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie:
\(4x^2-4m|x|+6m-9=0 \)
ma takie dwa różne rozwiązania \(x_1\) i \( x_2\) takie, że \( x_1+x_2=0\)
Funkcja kwadratowa z parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3727
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2009 razy
Re: Funkcja kwadratowa z parametrem
Niech \(|x|=t\ge0\), wtedy dane równanie przyjmie postać:
\[4t^2-4mt+6m-9=0\]
Aby warunki zadania były spełnione, równanie to musi mieć jeden pierwiastek dodatni a ewentualny drugi - ujemny, czyli
\[\begin{cases}\Delta(m)=0\\t_0>0\end{cases}\vee\begin{cases}\Delta(m)>0\\t_1t_2<0\end{cases}\]
Ponieważ \(\Delta(m)=16m^2-16(6m-9)=16(m-3)^2,\, t_0={4m\over8}={m\over2},\ t_1t_2={6m-9\over4}\), to
\[\begin{cases}m=3\\{m\over2}>0\end{cases}\vee\begin{cases}m\ne3\\{6m-9\over4}<0\end{cases}\\
m=3\vee m<{3\over2}\]
Istnieje wtedy \(t_2>0\) taki, że \(x_1=\sqrt{t_2},\ x_2=-\sqrt{t_2}\), czyli \(x_1+x_2=0\).
Pozdrawiam
\[4t^2-4mt+6m-9=0\]
Aby warunki zadania były spełnione, równanie to musi mieć jeden pierwiastek dodatni a ewentualny drugi - ujemny, czyli
\[\begin{cases}\Delta(m)=0\\t_0>0\end{cases}\vee\begin{cases}\Delta(m)>0\\t_1t_2<0\end{cases}\]
Ponieważ \(\Delta(m)=16m^2-16(6m-9)=16(m-3)^2,\, t_0={4m\over8}={m\over2},\ t_1t_2={6m-9\over4}\), to
\[\begin{cases}m=3\\{m\over2}>0\end{cases}\vee\begin{cases}m\ne3\\{6m-9\over4}<0\end{cases}\\
m=3\vee m<{3\over2}\]
Istnieje wtedy \(t_2>0\) taki, że \(x_1=\sqrt{t_2},\ x_2=-\sqrt{t_2}\), czyli \(x_1+x_2=0\).
Pozdrawiam