Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz

[Hermi]

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć \((f^{-1})'(y_0)\) jeżeli:
a)
\(f(x)=x+\ln x, \;\;y_0=e+1\)

b)
\(f(x)=\cos x-3x,\;\; y_0=1\)

c)
\(f(x)= \sqrt[3]{x}+ \sqrt[5]{x} +\sqrt[7]{x},\;\; y_0=3\)

[Hermi]

Jeśli dobrze rozumiem to liczę najpierw pochodną odwrotną f(x) a następnie podstawiam tam y_0?

[eresh]

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć \((f^{-1})(y_0)\) jeżeli:
a)
\(f(x)=x+\ln x, \;\;y_0=e+1\)

\(f(x_0)=e+1\\
x_0=e\\
f'(x)=1+\frac{1}{x}\\
f'(1)=1+\frac{1}{e}=\frac{e+1}{e}\\
(f^{-1})'(x)=\frac{e}{e+1}\)

[eresh]

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć \((f^{-1})(y_0)\) jeżeli:


b)
\(f(x)=\cos x-3x,\;\; y_0=1\)

\(\cos x-3x=1\iff x=0\\
f'(x)=-\sin x-3\\
f'(0)=-3\\
(f^{-1})'(1)=-\frac{1}{3}\)

[eresh]

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć \((f^{-1})(y_0)\) jeżeli:

c)
\(f(x)= \sqrt[3]{x}+ \sqrt[5]{x} +\sqrt[7]{x},\;\; y_0=3\)

\(f(x)=3\iff x=1\\
f(x)=x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{5}}+x^{\frac{1}{7}}\\
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}+\frac{1}{7}x^{\frac{-6}{7}}\\
f'(1)=\frac{71}{105}\\
(f^{-1})'(3)=\frac{105}{71}\)

[Hermi]

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć \((f^{-1})(y_0)\) jeżeli:
a)
\(f(x)=x+\ln x, \;\;y_0=e+1\)

\(f(x_0)=e+1\\
x_0=1\\
f'(x)=1+\frac{1}{x}\\
f'(1)=2\\
(f^{-1})'(x)=\frac{1}{2}\)

Dlaczego \(x_0=1\) a nie \(-1\)?

[eresh]

Dlaczego x_0=1 a nie -1?

powinno być \(x_0=e\), bo \(x+\ln x=e+1\) dla \(x=e\)

[janusz55]

Można też , skorzystać z równości:

\( (f\circ f^{-1})(x) = x \)

Na przykład dla funkcji:

b)
\( f(x) = x +\ln(x) \) i \( y_{0} = e +1 \)

\( x +\ln(x) = e +1 = y_{0} \)

\( y_{0} = e.\)

\( f^{-1}(x) + \ln(f^{-1}(x)) = x \ \ (*)\)

Obliczając pochodną obustronną równania \( (*) \)

\( [f^{-1}(x)]' - \frac{1}{f^{-1}(x)} \cdot f^{-1}(x) = 1 \)

\( f^{-1}(x) (1 -\frac{1}{f^{-1}(x)}) = 1 \)

\( [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{1 - f^{-1}(x)} \)

\( [f^{-1}(y_{0})]' = \frac{1}{1 - f^{-1}(y_{0})} \)

\( f^{-1}(e) = \frac{1}{1 - f^{-1}(e)}= \frac{1}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{e}{e -1}. \)