Pole obszaru
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1558
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 410 razy
Re: Pole obszaru
Proszę obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
\( x = y^2, \ \ x = 9y^2, \ \ y^3 = x^2 , \ \ y^3 = 8x^2\) (rys).
Niech
\( \mathcal{G} = \left \{(x,y): \frac{1}{9} x \leq y^2 \leq x, \ \ x^2 \leq y^3 \leq 8x^2 \right \} \)
Wprowadzając współrzędne krzywoliniowe \( (u, v) \)
\( \begin{cases} u = \frac{y^2}{x} \\ v = \frac{y^3}{x^2} \end{cases} \)
stwierdzmy, że warunek \( (x,y)\in G \) równoważny jest warunkowi:
\( \frac{1}{9} \leq u \leq 1, \ \ 1 \leq v \leq 8 \),
czyli \( u,v \in \mathcal{P} = \left[ \frac{1}{9}, 1\right] \times \left[ 1, 8\right] \) należy do prostokąta.
Odwzorowanie określone wzorem
\( \psi(x,y) = (x^{-1}y^2, x^{-2}y^3) \)
przekształca obszar \( \mathcal{G} \) na \( \mathcal{P}.\)
Odwzorowanie odwrotne
\( \phi = \psi^{-1} = (u^2v^{-1}, \ \ u^3v^{-1}), \ \ (u,v) \in \mathcal{P} \)
Obliczamy Jakobian tego przekształcenia
\( \mathcal{J}(\phi(u,v)) = \left| \begin{matrix} \frac{2u}{v} & -\frac{u^2}{v^2} \\ \frac{3u^2}{v} & -\frac{3u^3}{v^2} \end{matrix} \right| =-\frac{6u^4}{v^3}+ \frac{3u^4}{v^3} = -\frac{3u^4}{v^3}< 0. \)
Stąd pole obszaru ograniczone krzywymi jest równe
\( |S|= \iint_{(\mathcal{G})} dx dy = \iint_{(\mathcal{P})} |J(\phi(u, v)| du dv = \int_{\frac{1}{9}}^{1}\int_{1}^{8}\frac{3u^4}{v^3}dv du = \ \ ... \)
\( x = y^2, \ \ x = 9y^2, \ \ y^3 = x^2 , \ \ y^3 = 8x^2\) (rys).
Niech
\( \mathcal{G} = \left \{(x,y): \frac{1}{9} x \leq y^2 \leq x, \ \ x^2 \leq y^3 \leq 8x^2 \right \} \)
Wprowadzając współrzędne krzywoliniowe \( (u, v) \)
\( \begin{cases} u = \frac{y^2}{x} \\ v = \frac{y^3}{x^2} \end{cases} \)
stwierdzmy, że warunek \( (x,y)\in G \) równoważny jest warunkowi:
\( \frac{1}{9} \leq u \leq 1, \ \ 1 \leq v \leq 8 \),
czyli \( u,v \in \mathcal{P} = \left[ \frac{1}{9}, 1\right] \times \left[ 1, 8\right] \) należy do prostokąta.
Odwzorowanie określone wzorem
\( \psi(x,y) = (x^{-1}y^2, x^{-2}y^3) \)
przekształca obszar \( \mathcal{G} \) na \( \mathcal{P}.\)
Odwzorowanie odwrotne
\( \phi = \psi^{-1} = (u^2v^{-1}, \ \ u^3v^{-1}), \ \ (u,v) \in \mathcal{P} \)
Obliczamy Jakobian tego przekształcenia
\( \mathcal{J}(\phi(u,v)) = \left| \begin{matrix} \frac{2u}{v} & -\frac{u^2}{v^2} \\ \frac{3u^2}{v} & -\frac{3u^3}{v^2} \end{matrix} \right| =-\frac{6u^4}{v^3}+ \frac{3u^4}{v^3} = -\frac{3u^4}{v^3}< 0. \)
Stąd pole obszaru ograniczone krzywymi jest równe
\( |S|= \iint_{(\mathcal{G})} dx dy = \iint_{(\mathcal{P})} |J(\phi(u, v)| du dv = \int_{\frac{1}{9}}^{1}\int_{1}^{8}\frac{3u^4}{v^3}dv du = \ \ ... \)