granica z parametrem

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
crybe
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 27 lut 2023, 18:44
Podziękowania: 6 razy
Płeć:

granica z parametrem

Post autor: crybe »

Dla jakiego parametru p spełnione jest równanie
\(\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}}=2\)

Dziękuję!
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3156
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 45 razy
Otrzymane podziękowania: 1729 razy

Re: granica z parametrem

Post autor: Jerry »

Ponieważ
\(\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}} =
\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}} =
\dfrac{0\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+0\cdot9^{-p}}} = 5^{p-1} \)
to wystarczy rozwiązać równanie
\(5^{p-1} =2\\ 5^p=10\\ p=\log_510\)
Pozdrawiam
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 955
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 274 razy

Re: granica z parametrem

Post autor: janusz55 »

\( \lim_{x\to \infty} \frac{2^{x-3p} + 5^{x+p}}{\sqrt{25^{x+1} +9^{x-p}}} = 2.\)

Proszę wyłączyć z licznika i mianownika największy składnik w potędze \( 5^{x} \) i przejść do granicy \( x\to \infty.\)

Proponuję używać w \( \LaTeX \) do określenia nieskończoności symbolu \( \infty \) zamiast \( \propto \), chociaż coraz częściej ten symbol zastępuje nieskończoność.
Maciek32
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 20 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: granica z parametrem

Post autor: Maciek32 »

Możesz wytłumaczyć skąd się biorą takie zmiany w wyrażeniech w liczniku w liczniku i w mianowniku?

\(\lim_{k \to +\infty } \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}}\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3156
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 45 razy
Otrzymane podziękowania: 1729 razy

Re: granica z parametrem

Post autor: Jerry »

\( \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}} =
\dfrac{\dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{5^k}}{\dfrac{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}}{5^k}} =
\dfrac{\dfrac{2 ^{k}\cdot5^{-3p}}{5^k} +\dfrac{5^{k+p}}{5^k}}{\sqrt{\dfrac{25^{k+1}}{25^k}+\dfrac{9^{k}\cdot9^{-p}}{25^k}}} = \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}} \)

Pozdrawiam
Maciek32
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
Podziękowania: 20 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: granica z parametrem

Post autor: Maciek32 »

A dlaczego dzielisz przez \(5^k\)?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3156
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 45 razy
Otrzymane podziękowania: 1729 razy

Re: granica z parametrem

Post autor: Jerry »

Bo to wynika z moich doświadczeń z innymi granicami (zbieżność podciągów do zera) i prowadzi do celu!

Pozdrawiam