Dla jakiego parametru p spełnione jest równanie
\(\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}}=2\)
Dziękuję!
granica z parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 25
- Rejestracja: 27 lut 2023, 18:44
- Podziękowania: 16 razy
- Płeć:
-
- Expert
- Posty: 3879
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 54 razy
- Otrzymane podziękowania: 2072 razy
Re: granica z parametrem
Ponieważ
\(\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}} =
\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}} =
\dfrac{0\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+0\cdot9^{-p}}} = 5^{p-1} \)
to wystarczy rozwiązać równanie
\(5^{p-1} =2\\ 5^p=10\\ p=\log_510\)
Pozdrawiam
\(\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}} =
\Lim_{k \to +\infty } \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}} =
\dfrac{0\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+0\cdot9^{-p}}} = 5^{p-1} \)
to wystarczy rozwiązać równanie
\(5^{p-1} =2\\ 5^p=10\\ p=\log_510\)
Pozdrawiam
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę
.
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę
-
- Fachowiec
- Posty: 2127
- Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 503 razy
Re: granica z parametrem
\( \lim_{x\to \infty} \frac{2^{x-3p} + 5^{x+p}}{\sqrt{25^{x+1} +9^{x-p}}} = 2.\)
Proszę wyłączyć z licznika i mianownika największy składnik w potędze \( 5^{x} \) i przejść do granicy \( x\to \infty.\)
Proponuję używać w \( \LaTeX \) do określenia nieskończoności symbolu \( \infty \) zamiast \( \propto \), chociaż coraz częściej ten symbol zastępuje nieskończoność.
Proszę wyłączyć z licznika i mianownika największy składnik w potędze \( 5^{x} \) i przejść do granicy \( x\to \infty.\)
Proponuję używać w \( \LaTeX \) do określenia nieskończoności symbolu \( \infty \) zamiast \( \propto \), chociaż coraz częściej ten symbol zastępuje nieskończoność.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 106
- Rejestracja: 14 mar 2023, 18:08
- Podziękowania: 47 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: granica z parametrem
Możesz wytłumaczyć skąd się biorą takie zmiany w wyrażeniech w liczniku w liczniku i w mianowniku?
\(\lim_{k \to +\infty } \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}}\)
\(\lim_{k \to +\infty } \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}}\)
-
- Expert
- Posty: 3879
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 54 razy
- Otrzymane podziękowania: 2072 razy
Re: granica z parametrem
\( \dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}} =
\dfrac{\dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{5^k}}{\dfrac{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}}{5^k}} =
\dfrac{\dfrac{2 ^{k}\cdot5^{-3p}}{5^k} +\dfrac{5^{k+p}}{5^k}}{\sqrt{\dfrac{25^{k+1}}{25^k}+\dfrac{9^{k}\cdot9^{-p}}{25^k}}} = \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}} \)
Pozdrawiam
\dfrac{\dfrac{2 ^{k-3p} +5^{k+p}}{5^k}}{\dfrac{\sqrt{25^{k+1}+9^{k-p}}}{5^k}} =
\dfrac{\dfrac{2 ^{k}\cdot5^{-3p}}{5^k} +\dfrac{5^{k+p}}{5^k}}{\sqrt{\dfrac{25^{k+1}}{25^k}+\dfrac{9^{k}\cdot9^{-p}}{25^k}}} = \dfrac{\left({2\over5}\right) ^{k}\cdot2^{-3p} +5^{p}}{\sqrt{25^{1}+\left({9\over25}\right)^{k}\cdot9^{-p}}} \)
Pozdrawiam
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę
.
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę
-
- Expert
- Posty: 3879
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 54 razy
- Otrzymane podziękowania: 2072 razy
Re: granica z parametrem
Bo to wynika z moich doświadczeń z innymi granicami (zbieżność podciągów do zera) i prowadzi do celu!
Pozdrawiam
Pozdrawiam
Pisanie postów - pomoc (wersja obrazkowa).
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę
.
Podziękuj osobie, której post Ci pomógł, klikając na ikonkę