Funkcja trygonometryczna

[jasminka]

1. Rozwiąż równanie \(\sin4x-\sin2x=4\cos^2x-3\) w przedziale \(\langle0, 2π\rangle\).

2. Wyznacz najmniejsze wartości funkcji \(f(x)=12\sin(3x)+5\cos(3x)\) oraz \(\frac{1}{|12\sin(3x)+5\cos(3x)|}\)

[Jerry]

1. Rozwiąż równanie \(sin4x-sin2x=4cos^2x-3\) w przedziale \(<0, 2π>\).

\[\sin4x-\sin2x=4\cos^2x-3\\
2\sin2x\cos2x-\sin2x=2(\cos2x+1)-3\]
Jeżeli \(\cos x=0\), to równanie nie jest spełnione, zatem niech
\[\begin{cases}\cos2x=\cfrac{1-t^2}{1+t^2}\\\sin2x=\cfrac{2t}{1+t^2}\end{cases}\, \text{, gdzie }\begin{cases}t=\tg x\\t\in\rr\end{cases}.\]
Wtedy
\[2\cdot\frac{2t}{1+t^2}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2}=2\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-1\\ \ldots\ \ldots\\ (t-1)^2(3t^2-1)=0\\
\tg =1\vee\tg x={\sqrt3\over3}\vee\tg x=-{\sqrt3\over3}\]
skąd blisko do odpowiedzi...

Pozdrawiam

[Jerry]

2. Wyznacz najmniejsze wartości funkcji \(f(x)=12sin(3x)+5cos(3x)\)

\[y=f(x)=12\sin3x+5\cos3x=13\cdot\left({12\over13}\sin3x+{5\over13}\cos3x\right)\]
Istnieje kąt \(\alpha\in\left(0;{\pi\over2}\right)\) taki, że \(\begin{cases}\cos\alpha={12\over13}\\\sin\alpha={5\over13}\end{cases}\), zatem
\[y=f(x)=13\sin(3x+\alpha)\wedge x\in\rr\]
czyli
\[-13\le f(x)\le13\]
Pozdrawiam
PS. Z powyższego wynika zbiór wartości drugiej z funkji: \(\left[{1\over13};+\infty\right)\)

[janusz55]

Jeśli funkcja \( f \) określona jest wzorem \( f(x) = A \sin(mx) + B\sin(nx) \), to jej najmniejsza wartość \( f_{min} = -\sqrt{A^2+B^2},\) a wartość największa \( f_{maks} = \sqrt{A^2+B^2}.\)

\( f_{min} = -\sqrt{13^2 + 5^2} = -\sqrt{169} = -13.\)

\( f_{maks} = \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13.\)

[Jerry]

Jeśli funkcja \( f \) określona jest wzorem \( f(x) = A \sin(mx) + B\sin(nx) \), to jej najmniejsza wartość \( f_{min} = -\sqrt{A^2+B^2},\) a wartość największa \( f_{maks} = \sqrt{A^2+B^2}.\)

Dla funkcji \(y=f(x)=3\sin3x+4\sin2x\) określonej w \(D=\rr\) mamy:
\[y_\max\approx6,659\ne5=\sqrt{3^2+4^2}\\y_\min\approx-6,659\ne-5=-\sqrt{3^2+4^2}\]
Miłego dnia

[janusz55]

\( A = 12, \ \ B=5 \ \ m=n =3. \)

[anilewe_MM]

Słyszałam, że prędzej złodziej się przyzna, że ukradł niż nauczyciel, że się pomylił

[Jerry]

\( A = 12, \ \ B=5 \ \ m=n =3. \)

Skoro mam podany wzór ogólny, mogę z niego skorzystać dla dowolnych, dobrze określonych, wartości zmiennych!
Czyli, w szczególności dla \(\begin{cases}A=3\\B=4\\m=3\\n=2\end{cases}\).
I wnioskuję, że wzór jest [autocenzura] wart!

... prędzej złodziej się przyzna, że ukradł niż nauczyciel, że się pomylił.

Nikt nie jest doskonały, nie mylą się tylko ci, którzy nic nie robią! Osobiście uważam, że przyznanie się do błędu buduje autorytet człowieka (w tym - nauczyciela) ... Trwanie w błędzie nic dobrego nie przynosi, ani nauczycielowi ani jego uczniom!

Pozdrawiam
PS. A dyskusyjne posty usera nic dobrego nie przyniosą dla naszemu forum!