Zadanie logiczne z fryzjerami

[IkaS]

Dzień dobry,
zadanie, z którym mam problem pochodzi z książki Raymonda Smullyana - Przedrzeźniać Przedrzeźniacza. Nie wiem już sama, czy nie rozumiem treści, czy w książce jest może błąd.

Oto treść:

"W pewnym mieście żyło dokładnie 365 mężczyzn. W ciągu całego roku, który nie był rokiem przestępnym, umawiano się, że codziennie jeden mężczyzna będzie oficjalnym fryzjerem tego dnia. Żaden mężczyzna nie służył jako oficjalny fryzjer więcej niż jeden dzień. Nadto, oficjalny fryzjer danego dnia nie musiał koniecznie być jedyną osobą, która tego dnia goliła ludzi; dopuszczane było także golenie w wykonaniu innych.
Wiadomo, że dowolnego dnia oficjalny fryzjer tego dnia - nazwijmy do X - golił co najmniej jedną osobę. Niech X* będzie pierwszą osobą ogoloną przez X w dniu, w którym X był oficjalnym fryzjerem. Wiadomo też, że dla dowolnego dnia D istnieje taki dzień E, że dla dowolnych mężczyzn X oraz Y, jeśli X golił Y w dniu E, to X* golił Y w dniu D.
Powyższe warunki z pewnością nie prowadzą do paradoksu, ale prowadzą do interesującego wniosku, a mianowicie takiego, że każdego dnia co najmniej jedna osoba sama się goliła. Jak to udowodnisz?"

Uprościłam to do 4 fryzjerów i 4 dni, żeby ręcznie sprawdzić, czy rzeczywiście musi być tak, że ktoś goli sam siebie. Mamy więc fryzjera A,B,C,D i dni 1,2,3,4. Literka g w moich rozpiskach oznacza "goli"

Dzień 1 - oficjalny fryzjer A:
AgB i AgC
(czyli w tym dniu B jest A*, bo jest pierwszym golonym przez oficjalnego fryzjera tego dnia, którym jest A. Za Y przyjmuję C)

Dzień 2 - oficjalny fryzjer B:
BgC i BgD
(w tym dniu spełniła się zasada z zadania dotycząca dni. A* z pierwszego dnia, czyli B, golił Y z pierwszego dnia czyli C).

Dzień 3 - oficjalny fryzjer C:
CgD i CgA

Dzień 4 - oficjalny fryzjer D:
DgA i DgB

Czyli zasadę dni dla dnia 4, spełnia dzień 1. Fryzjer A w dniu czwartym jest D*, a fryzjer B w dniu czwartym jest Y, więc w dniu pierwszym D*gY czyli AgB - i to się rzeczywiście wydarza.

W mojej rozpisce zatem spełniłam warunki zadania i nie powstał koniecznie warunek, żeby jakikolwiek z fryzjerów golił sam siebie.

Gdzie popełniam błąd w rozumowaniu?
Help..

[janusz55]

Weźmy dowolny dzień D i odpowiadający mu dzień E (którego istnienie gwarantuje ograniczenie). Warunek jest ważny dla wszystkich X,Y
w dniu E (takich, że X goli Y), więc przyjmijmy, że X za oficjalnego fryzjera dnia E wiemy, że goli on co najmniej jedną osobę. I przyjmijmy, że Y jest pierwszą taką osobą. Wtedy, skoro X goli Y w dniu, warunek ten oznacza, że X∗ goli Y w dniu D. Ale X∗ jest oczywiście Y
(ponieważ dana osoba jest oficjalnym fryzjerem dokładnie jeden dzień w roku, a my wybraliśmy X na oficjalnego fryzjera dnia), więc Y goli Y w dniu D Oznacza to, że w każdym dniu D możemy znaleźć Y takiego, że Y ogoli się sam w dniu D.
\( \Box \)

[IkaS]

Dziękuję za odpowiedź. Nie rozumiem dalej. Czy musimy koniecznie przyjmować, że X* to Y?
W zadaniu jest "dla dowolnych mężczyzn X oraz Y"

Czyli mogę przecież uznać, że tym Y nie będzie pierwsza ogolona tego dnia osoba, tylko np druga lub jeszcze inna. Tak jak to rozpisałam w moim wyjaśnieniu.

[janusz55]

Nie wybieramy określonej liczby dni lecz dowolny dzień roku. Tu nie chodzi o to, że Y będzie pierwszą, drugą czy trzecią osobą ogoloną w ciągu dnia.

Z treści nie paradoksu i określenia \( X*\) wynika zdanie: \( (X \rightarrow Y) \wedge ( X* \rightarrow Y) \rightarrow (Y \rightarrow Y). \)

[IkaS]

Ale dlaczego koniecznie wynika żeby ktoś golił sam siebie? Rozpisałam wszystkie możliwe dni (po uproszczeniu do 4) i dla każdego z rozpisanych przeze mnie dni, istnieje taki inny dzień, który spełnia warunki podane w zadaniu i nikt nie goli sam siebie.

[janusz55]

Nie rozumiemy się. Nie rozpatrujemy kolejnych czterech dni i z niczego nie wynika konieczność ogolenia się samego siebie.

Może dokładniej jeszcze raz.

Weźmy dowolny dzień D. Dany jest dzień E taki, że dla dowolnych mieszkańców X i Y, jeśli X ogolił Y w dniu E, to X* ogolił Y w dniu D.

Teraz niech X będzie oficjalnym fryzjerem w dniu E. Oznacza to, że X ogolił X* w dniu E (w rzeczywistości X* ogolił X* w dniu D).

Oznacza to, że X ogolił X* w dniu E (w rzeczywistości X* był pierwszym ogolonym - ogolony jako pierwszy w dniu E).

Następnie, biorąc X* za Y, jeśli X ogolił X* w dniu E, to X* ogolił X* w dniu D. I X ogolił X* w dniu E. Zatem X* ogolił X* w dniu D.

Innymi słowy, w dniu D X* ogolił się.

Rezultat jest taki, że dla dowolnego dnia D, pozwalamy, aby dzień E był taki, jak podano w warunkach problemu.

Wtedy, to nie fryzjer w dniu E, który koniecznie ogolił się w dniu D, ale pierwszy ogolony przez fryzjera w dniu E, który musiał ogolić się w dniu D.

[IkaS]

Chyba to sformułowanie "dla dowolnych mieszkańców X i Y" sprawia mi jakiś problem. Bo nie rozumiem, czemu musimy przyjmować X* za Y.

Czy wnika to ze sformułowania "dla dowolnych" czyli tak jakby dla każdych? Bo jeśli nie dla każdych, to za Y w tym dniu można przyjąć inną osobę niż pierwszą ogoloną. Mamy zadaniu do dyspozycji aż 365 osób

[janusz55]

Dla dowolnych z warunkiem jeśli ...

[IkaS]

Chyba załapałam... Po prostu wszystkie osoby, które X goli danego dnia, są Y. Bo Y to każda osoba, którą goli X w danym dniu. Zgadza się?

[janusz55]

Zgadza się.