f(x)=sin(x^2) sprawdz czy funkcja jest okresowa(poprzyj to obliczeniami)
proszę o pomoc
sprawdz czy funkcja jest okresowa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: sprawdz czy funkcja jest okresowa
Z wykresu sugestia, że nie jest!
Załóżmy, że istnieje takie \(T\ne0\), że dla każdego \(x\in\rr\) zachodzi
\[f(x+T)=f(x)\\ \sin(x+T)^2=\sin x^2\\ ((x+T)^2=x^2+k\cdot2\pi\vee (x+T)^2+x^2=\pi+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\\
(2xT+T^2=k\cdot2\pi\vee 2x^2+2xT+T^2=\pi+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\]
Ponieważ w każdej z tych alternatywnych równości istnieje zależność \(T\) od \(x\), zatem założenie jest nieprawdziwe i dana funkcja nie jest okresowa.
Pozdrawiam
PS. W poprzednim poście można rachować w analogiczny sposób
Załóżmy, że istnieje takie \(T\ne0\), że dla każdego \(x\in\rr\) zachodzi
\[f(x+T)=f(x)\\ \sin(x+T)^2=\sin x^2\\ ((x+T)^2=x^2+k\cdot2\pi\vee (x+T)^2+x^2=\pi+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\\
(2xT+T^2=k\cdot2\pi\vee 2x^2+2xT+T^2=\pi+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\]
Ponieważ w każdej z tych alternatywnych równości istnieje zależność \(T\) od \(x\), zatem założenie jest nieprawdziwe i dana funkcja nie jest okresowa.
Pozdrawiam
PS. W poprzednim poście można rachować w analogiczny sposób
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1584
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
Re: sprawdz czy funkcja jest okresowa
Proszę sprawdzić, czy funkcja \( f(x) = \sin(x^2) \) jest okresowa.
Metoda elementarna
Załóżmy, że funkcja \( f \) jest okresowa, to znaczy \( f(x +T) = f(x) \) dla każdego \( x\in \rr \) i \( T>0. \)
Wówczas argumenty \( x = 0, \ \ \sqrt{\pi}, \ \ \sqrt{2\pi} \) są zerami funkcji i \( f(T) = f(T+\sqrt{\pi}) = f(T + \sqrt{2\pi}) = 0, \)
Zerami są również wszystkie liczby postaci \( \sqrt{i\pi}, \ \ i \in \nn. \)
Stąd wynika, że muszą istnieć takie całkowite liczby \( k, \ \ h, \ \ l, \) że zachodzą równości:
\( \begin{cases} T^2 = k\pi \\ (T +\sqrt{\pi})^2 = (h+1)\pi \\ (T +\sqrt{2\pi})^2 = (l+2)\pi \end{cases}, \)
równoważnie
\( \begin{cases} T^2 = k\pi \\ T^2 = k\pi - 2T\sqrt{\pi} \\ T^2 = l\pi -2T\sqrt{2\pi} \end{cases}.\)
Z równań pierwszego i drugiego
\( 2T = (k-h)\sqrt{\pi} \) i podstawiając tę wartość oraz \( T^2= h\pi \) do równania trzeciego, otrzymujemy
\( h\pi = l\pi -(k-h)\sqrt{2}\pi, \)
a stąd
\( \sqrt{2} = \frac{h-l}{k-h}\) - sprzeczność, bo prawa strona równania jest wymierna.
Funkcja \( f(x) = \sin(x^2) \) nie jest funkcją okresową.
W celu stwierdzenia, czy funkcja \( f(x) = \sin(x^2) \) jest funkcją okresową możemy posłużyć się metodą rachunku granic, obliczając
na przykład granicę różnicy \( \sqrt{(k+1)\pi} -\sqrt{k\pi} \) i stwierdzając, że przedział ten jest miary zero.
Możemy też obliczyć pochodną \( f'(x) = 2x\cos(x^2)\) i zbadać, że jest to funkcja nieograniczona.
Musimy wtedy znać twierdzenie i jego dowód " jeżeli pochodna funkcji jest nieograniczona, to funkcja nie jest funkcją okresową."
Metoda elementarna
Załóżmy, że funkcja \( f \) jest okresowa, to znaczy \( f(x +T) = f(x) \) dla każdego \( x\in \rr \) i \( T>0. \)
Wówczas argumenty \( x = 0, \ \ \sqrt{\pi}, \ \ \sqrt{2\pi} \) są zerami funkcji i \( f(T) = f(T+\sqrt{\pi}) = f(T + \sqrt{2\pi}) = 0, \)
Zerami są również wszystkie liczby postaci \( \sqrt{i\pi}, \ \ i \in \nn. \)
Stąd wynika, że muszą istnieć takie całkowite liczby \( k, \ \ h, \ \ l, \) że zachodzą równości:
\( \begin{cases} T^2 = k\pi \\ (T +\sqrt{\pi})^2 = (h+1)\pi \\ (T +\sqrt{2\pi})^2 = (l+2)\pi \end{cases}, \)
równoważnie
\( \begin{cases} T^2 = k\pi \\ T^2 = k\pi - 2T\sqrt{\pi} \\ T^2 = l\pi -2T\sqrt{2\pi} \end{cases}.\)
Z równań pierwszego i drugiego
\( 2T = (k-h)\sqrt{\pi} \) i podstawiając tę wartość oraz \( T^2= h\pi \) do równania trzeciego, otrzymujemy
\( h\pi = l\pi -(k-h)\sqrt{2}\pi, \)
a stąd
\( \sqrt{2} = \frac{h-l}{k-h}\) - sprzeczność, bo prawa strona równania jest wymierna.
Funkcja \( f(x) = \sin(x^2) \) nie jest funkcją okresową.
W celu stwierdzenia, czy funkcja \( f(x) = \sin(x^2) \) jest funkcją okresową możemy posłużyć się metodą rachunku granic, obliczając
na przykład granicę różnicy \( \sqrt{(k+1)\pi} -\sqrt{k\pi} \) i stwierdzając, że przedział ten jest miary zero.
Możemy też obliczyć pochodną \( f'(x) = 2x\cos(x^2)\) i zbadać, że jest to funkcja nieograniczona.
Musimy wtedy znać twierdzenie i jego dowód " jeżeli pochodna funkcji jest nieograniczona, to funkcja nie jest funkcją okresową."