Zadanie teoria liczb, dzielenie całkowite, iloraz, reszta, podłoga

[PancakeTheSecond]

Witam
mam do rozwiązania zadanie:
Próbuję rozwiązać zadanie: Pokazać, że jeśli a i b, (b<a) są liczbami naturalnymi, to
\({ \left[ \frac{a}{b} \right] }\)
jest ilorazem, natomiast
\(\displaystyle{ a-\left[ \frac{a}{b}\right] *b }\)
jest resztą z dzielenia.

1.
\({ a=q*b+r}\)
\({ a= \left[ \frac{a}{b}\right] * b +a-\left[ \frac{a}{b}\right] *b }\)
\({ a=a}\)

Mam pytanie czy w ten sposób mogę rozwiązać to zadanie. Czy jest to rozwiązanie prawidłowe?

2)
z definicji dzielenia całkowitego wiadomo, że \({ 0 \le r<b}\)
\({ 0 \le a-\left[ \frac{a}{b} \right]*b <b}\)
\({ b*\left[ \frac{a}{b} \right] \le a<b*\left[ \frac{a}{b} \right]+b }\)
\({ \left[ \frac{a}{b} \right] \le \frac{a}{b} <\left[ \frac{a}{b} \right]+1 }\)

czyli \({ \left[ \frac{a}{b} \right]}\) spełnia własności podłogi czyli jest częścią całkowitą dzielenia.
Mam pytanie czy ten sposób jest poprawny i też jest rozwiązaniem zadania.

3)
Czy można to zadanie udowodnić w tym równaniu \({ a=q*b+r}\) podstawiając za q
\({ \frac{a}{b}-r =q}\) czyli rozwiązać równanie \({ a=(\frac{a}{b}-r)*b + r}\)

[janusz55]

Założenie: \( a, b \in \nn, \ \ b \neq 0 , \ \ a>b.\)

Dowód:

Niech \( q:= \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \) i \( r = a -b\cdot q. \)

Z określenia funkcji "Entier" (części całkowitej liczby)

\( \frac{a}{b}-1 < q \leq \frac{a}{b} \)

\( r = a - b\cdot q \geq a - b\left(\frac{a}{b} \right) = a - a = 0 \)
i
\( r = a - b\cdot q < a - b \left(\frac{a}{b}-1 \right)= b. \)

Stąd

\( 0 \leq r < b.\)

\(\Box \)


Jednoznaczność

Niech a = b\cdot q + r [/tex] i \( a = b'\cdot q' + r' \) i \( 0 \leq r < b, \ \ 0 \leq r' < b'. \)

Jeśli \(q \neq q' \) wtedy \( 1 \leq |q- q'|> 0, \ \ |b| \leq | bq - bq'| = |a+ r +a - r'| = |r - r'|, \)

co przeczy, że \( 0 <|r- r'|< b. \)

Zachodzą więc równości:

\( q = q'; \)

\( r = a -b\cdot q = r' = a - b\cdot q'.\)

\( \Box \)