kombinatoryka i rachunek
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
franco11
- Często tu bywam
- Posty: 152
- Rejestracja: 01 maja 2016, 07:18
- Podziękowania: 80 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
kombinatoryka i rachunek
W kartonie znajduje się 20 żarówek, w tym pewna liczba żarówek wadliwych. Wybieramy kolejno bez zwracania dwie żarówki. Oblicz, ile co najwyżej dobrych żarówek znajduje się w tym kartonie, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania za drugim razem dobrej żarówki jest większy od 0,1
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: kombinatoryka i rachunek
Gdyby: "co najmniej", to z tw. o p-wie całkowitym:
\[{n\over20}\cdot{n-1\over19}+{20-n\over20}\cdot{n\over19}>{1\over10}\]
gdzie \(n\in\{1,2,\ldots,19\}\) jest liczbą dobrych żarówek. Czyli
\[n\ge3\]
Ale jest "co najwyżej" ...
Pozdrawiam
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1626
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: kombinatoryka i rachunek
Doświadczenie losowe opisane w treści zadania jest dwuetapowe o etapach zależnych:
- losowy wybór bez zwracania pierwszej żarówki - etap 1,
- losowy wybór bez zwracania drugiej żarówki - etap 2.
Oznaczenia:
\( d \) - żarówka dobra,
\( w \) - żarówka wadliwa,
\( ż \) - żarówka dobra lub wadliwa,
\( n - \) ilość żarówek dobrych w kartonie: \( n \in \nn_{+}, n\leq 20.\)
Zakładamy, ze wybór każdej żarówki jest jednakowo możliwy.
Mamy do czynienia z klasycznym modelem dyskretnym rachunku prawdopodobieństwa.
Etap 1
\( \Omega_{1} = \{ ż \in \{ d,w\}, ż\in \{1,2,3,...,20\}\}.\)
\( P(d) = \frac{n}{20}, \ \ P(w) = \frac{20-n}{20}.\)
Etap 2
\( \Omega_{2} = \{ ż \in \{ d, w\}, ż\in \{1,2,3,...,19\}\}.\)
\( P_{d|d}(d) = \frac{n-1}{19},\ \ P_{w|d}(w)= \frac{20-n}{19}, \ \ P_{d|w}(d) = \frac{n}{19}, \ \ P_{w|w}(w) = \frac{19-n}{19}.\)
\( D \) - zdarzenie " wylosowana za drugim razem żarówka jest dobra"
Uwzględniając etap 1 i etap 2 doświadczenia losowego:
\( P(D) = P(d)\cdot P_{d|d}(d) + P(w)\cdot P_{d|w}(d), \)
\( P(D) = \frac{n}{20}\cdot \frac{n-1}{19} + \frac{20-n}{20}\cdot \frac{n}{19}.\)
Z treści zadania:
\( \frac{n}{20}\cdot \frac{n-1}{19} + \frac{20-n}{20}\cdot \frac{n}{19} >0,1\ \ |\cdot 20\cdot 19 \)
\( n\cdot (n-1) + (20-n)\cdot n > 38,\)
\( n^2 -n +20n - n^2 >38,\)
\( 19n > 38, \)
\( n>2.\)
\( n\in\{ 3,4, ... ,19, 20\}. \)
Wybierając losowo kolejno dwie żarówki z kartonu zawierającego \( 20 \) żarówek dobrych i wadliwych, aby prawdopodobieństwo wylosowania zarówki dobrej było większe od \( 0,1\) - w kartonie musi być co najwyżej \( 18 \) żarówek dobrych.
- losowy wybór bez zwracania pierwszej żarówki - etap 1,
- losowy wybór bez zwracania drugiej żarówki - etap 2.
Oznaczenia:
\( d \) - żarówka dobra,
\( w \) - żarówka wadliwa,
\( ż \) - żarówka dobra lub wadliwa,
\( n - \) ilość żarówek dobrych w kartonie: \( n \in \nn_{+}, n\leq 20.\)
Zakładamy, ze wybór każdej żarówki jest jednakowo możliwy.
Mamy do czynienia z klasycznym modelem dyskretnym rachunku prawdopodobieństwa.
Etap 1
\( \Omega_{1} = \{ ż \in \{ d,w\}, ż\in \{1,2,3,...,20\}\}.\)
\( P(d) = \frac{n}{20}, \ \ P(w) = \frac{20-n}{20}.\)
Etap 2
\( \Omega_{2} = \{ ż \in \{ d, w\}, ż\in \{1,2,3,...,19\}\}.\)
\( P_{d|d}(d) = \frac{n-1}{19},\ \ P_{w|d}(w)= \frac{20-n}{19}, \ \ P_{d|w}(d) = \frac{n}{19}, \ \ P_{w|w}(w) = \frac{19-n}{19}.\)
\( D \) - zdarzenie " wylosowana za drugim razem żarówka jest dobra"
Uwzględniając etap 1 i etap 2 doświadczenia losowego:
\( P(D) = P(d)\cdot P_{d|d}(d) + P(w)\cdot P_{d|w}(d), \)
\( P(D) = \frac{n}{20}\cdot \frac{n-1}{19} + \frac{20-n}{20}\cdot \frac{n}{19}.\)
Z treści zadania:
\( \frac{n}{20}\cdot \frac{n-1}{19} + \frac{20-n}{20}\cdot \frac{n}{19} >0,1\ \ |\cdot 20\cdot 19 \)
\( n\cdot (n-1) + (20-n)\cdot n > 38,\)
\( n^2 -n +20n - n^2 >38,\)
\( 19n > 38, \)
\( n>2.\)
\( n\in\{ 3,4, ... ,19, 20\}. \)
Wybierając losowo kolejno dwie żarówki z kartonu zawierającego \( 20 \) żarówek dobrych i wadliwych, aby prawdopodobieństwo wylosowania zarówki dobrej było większe od \( 0,1\) - w kartonie musi być co najwyżej \( 18 \) żarówek dobrych.
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: kombinatoryka i rachunek
Skąd ten wniosek?
Fakt:
Dla \(n=19\) mamy \(p(D_2)=\dfrac{343}{380}>\dfrac{1}{10}\)
Pozdrawiam
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1626
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: kombinatoryka i rachunek
Dla \( n = 19, P(D) = \frac{361}{380} = 0,95. \)
Dla \( n=2 \)
\( n=2, \ \ P(D) = \frac{38}{380} = \frac{1}{10}. \)
Ponieważ jest pytanie "ile co najwyżej dobrych żarówek musi być w kartonie, aby prawdopodobieństwo wyciągnięcia żarówki dobrej było większe od \( \frac{1}{10}." \) Powinno być ile co najmniej żarówek dobrych powinno być w kartonie i wtedy \( n>2. \) czyli \( 18.\)
Dzięki za zwrócenie uwagi.
Dla \( n=2 \)
\( n=2, \ \ P(D) = \frac{38}{380} = \frac{1}{10}. \)
Ponieważ jest pytanie "ile co najwyżej dobrych żarówek musi być w kartonie, aby prawdopodobieństwo wyciągnięcia żarówki dobrej było większe od \( \frac{1}{10}." \) Powinno być ile co najmniej żarówek dobrych powinno być w kartonie i wtedy \( n>2. \) czyli \( 18.\)
Dzięki za zwrócenie uwagi.