trójmian

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
anilewe_MM
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 142
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 603 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

trójmian

Post autor: anilewe_MM »

Trójmian kwadratowy f(x)=x2+bx+c ma dwa rożne pierwiastki całkowite, oba różne od zera, a suma jego współczynników 1+b+c jest liczbą pierwszą.
a) podaj przykład takiego trójmianu,
b) uzasadnij, że 2 jest jednym z jego pierwiastków.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3834
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2060 razy

Re: trójmian

Post autor: Jerry »

Niech 1+b+c=p, gdzie p jest liczbą pierwszą.

Aby warunki zadania były spełnione, musi
b,cZ, c0 oraz Δ=m2mZ+.
b24(p1b)=m2b2+4b+4m2=4p(b+2)2m2=4p(|b+2|m)(|b+2|+m)=22p
Czynniki lewej strony są zgodnej parzystości, zatem obydwa są parzyste i pierwszy z nich jest mniejszy. Ostatecznie
+{|b+2|m=2|b+2|+m=2p_2|b+2|=2p+2|b+2|=p+1b+2=p1b+2=p+1{b=p3c=2p+2{b=p1c=0
Wobec c0 mamy, dla p liczby pierwszej spełniający warunki zadania, trójmian:
f(x)=x2(p+3)x+2p+2
Odpowiedzi:
  1. p=2f(x)=x25x+6p=3f(x)=x26x+8
  2. f(2)=22(p+3)2+2p+2=0CKD
Pozdrawiam
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 443
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 254 razy
Płeć:

Re: trójmian

Post autor: Icanseepeace »

Ja dorzucę swój pomysł:
Skoro f(x) ma dwa pierwiastki całkowite to możemy zapisać:
x1+x2=b x1x2=c. Wtedy mamy:
1+b+c=1(x1+x2)+x1x2=(x11)(x21)=p gdzie p jest liczbą pierwszą.
Stąd albo x11=1 albo x11=1, ale drugą opcję odrzucamy ze względu na x1=0 co jest sprzeczne z założeniem odnośnie pierwiastków różnych od zera.
Stąd x1=2x2=p+1
Przykładowe wielomiany jak u Jerry
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 106
Rejestracja: 14 mar 2023, 17:08
Podziękowania: 47 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: trójmian

Post autor: Maciek32 »

Jerry pisze: 18 wrz 2023, 22:49

Aby warunki zadania były spełnione, musi
b,cZ, c0 oraz Δ=m2mZ+ {0}
1. dlaczego za deltę przyjąłeś własnie to?
2. dlaczego b i c muszą być całkowite?
3. I czy moja uwaga na czerwono jest słuszna czy mylna?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3834
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2060 razy

Re: trójmian

Post autor: Jerry »

1. żeby pierwiastek z wyróżnika "się policzył" - jeśli byłby niewymierny, to nie byłoby szans na wymierne pierwiastki,
2. jeśli x1, x2Z, to b=x1+x2Z, c=x1x2Z. co bardzo fajnie wykorzystał Icanseepeace ,
3. zero nie jest liczbą całkowitą dodatnią, zatem nie widzę potrzeby uwzględniania Twojej uwagi.

Pozdrawiam
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 106
Rejestracja: 14 mar 2023, 17:08
Podziękowania: 47 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: trójmian

Post autor: Maciek32 »

1. Ale w ostateczności nie wyliczyłeś pierwiastka z wyróżnika. To po co?
2. A dlaczego liczby ujemne całkowite wykluczyłeś?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3834
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 54 razy
Otrzymane podziękowania: 2060 razy

Re: trójmian

Post autor: Jerry »

1. Żeby zagwarantować istnienie pierwiastków i .... żebym miał co wyredukować w 9. wierszu rozwiązania,
2. bo pierwiastek kwadratowy jest liczbą nieujemną.

Pozdrawiam
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 106
Rejestracja: 14 mar 2023, 17:08
Podziękowania: 47 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: trójmian

Post autor: Maciek32 »

2. Ale podniesione do kwadratu
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2104
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 498 razy

Re: trójmian

Post autor: janusz55 »

Założenia:
p1Z,  p10,  p2Z,  p20 - pierwiastki trójmianu kwadratowego t(x)=x2+bx+c.

t(1)=1+b+cP,  P - zbiór liczb pierwszych.

Postać iloczynowa trójmianu:

t(x)=(xp1)(xp2).

Stąd

t(1)=(1p1)(1p2)

KIedy iloczyn liczb: (1p1),(1p2) jest liczbą pierwszą ?

Wtedy, gdy jedna z nich jest równa 1 lub 1, a druga jest liczbą pierwszą lub odwrotnie.

Niech 1p1=1p1=0 FAŁSZ, bo z założenia p10.

1p1=1p1=2Z,  2>0. PRAWDA, czyli jednym z pierwiastków trójmianu t(x) musi być liczba 2,

a drugim pierwiastkiem 1p2Pp2P{1}.

Takich trójmianów, spełniających warunki zadania jest nieskończenie wiele.

Napiszmy kilka z nich:

t1(x)=(x2)(x4)=x26x+8.

Sprawdzenie

p1=2Z,  1p2=3p2=4Z.

t1(1)=(12)(14)=3P

Podobnie:

t2(x)=(x2)(x3)=x25x+6,

t3(x)=(x2)(x8)=x210x+16.

itd.
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 443
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 254 razy
Płeć:

Re: trójmian

Post autor: Icanseepeace »

janusz55 pisze: 30 gru 2023, 14:40 a drugim pierwiastkiem 1p2Pp2P{1}.
W jaki sposób powinniśmy rozumieć powyższy zapis?
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2104
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 498 razy

Re: trójmian

Post autor: janusz55 »

Jako liczby należące do zbioru {2+1,3+1,5+1,7+1,...,}.
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 443
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 254 razy
Płeć:

Re: trójmian

Post autor: Icanseepeace »

janusz55 pisze: 30 gru 2023, 16:02 Jako liczby należące do zbioru {2+1,3+1,5+1,7+1,...,}.
Czyli nie jest to suma zbiorów a bardziej dodawanie liczby rzeczywistej do każdego elementu pewnego zbioru.
Wydaje mi się, że lepszym oznaczeniem będzie tutaj:
1+P
rozumiane w sensie dodawania Minkowskiego
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2104
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 498 razy

Re: trójmian

Post autor: janusz55 »

Można, to działanie określić jako sumę H. Minkowskiego i zapisać P+{1}.

Lub opisać jako zbiór liczb pierwszych powiększonych o liczbę 1.

Dziękuję za zwrócenie uwagi.
ODPOWIEDZ