trójmian
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 142
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 603 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
trójmian
Trójmian kwadratowy f(x)=x2+bx+c ma dwa rożne pierwiastki całkowite, oba różne od zera, a suma jego współczynników 1+b+c jest liczbą pierwszą.
a) podaj przykład takiego trójmianu,
b) uzasadnij, że 2 jest jednym z jego pierwiastków.
a) podaj przykład takiego trójmianu,
b) uzasadnij, że 2 jest jednym z jego pierwiastków.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3834
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 54 razy
- Otrzymane podziękowania: 2060 razy
Re: trójmian
Niech 1+b+c=p, gdzie p jest liczbą pierwszą.
Aby warunki zadania były spełnione, musi
b,c∈Z, c≠0 oraz Δ=m2∧m∈Z+.
b2−4(p−1−b)=m2b2+4b+4−m2=4p(b+2)2−m2=4p(|b+2|−m)(|b+2|+m)=2⋅2p
Czynniki lewej strony są zgodnej parzystości, zatem obydwa są parzyste i pierwszy z nich jest mniejszy. Ostatecznie
+{|b+2|−m=2|b+2|+m=2p_2|b+2|=2p+2|b+2|=p+1b+2=−p−1∨b+2=p+1{b=−p−3c=2p+2∨{b=p−1c=0
Wobec c≠0 mamy, dla p liczby pierwszej spełniający warunki zadania, trójmian:
f(x)=x2−(p+3)x+2p+2
Odpowiedzi:
Aby warunki zadania były spełnione, musi
b,c∈Z, c≠0 oraz Δ=m2∧m∈Z+.
b2−4(p−1−b)=m2b2+4b+4−m2=4p(b+2)2−m2=4p(|b+2|−m)(|b+2|+m)=2⋅2p
Czynniki lewej strony są zgodnej parzystości, zatem obydwa są parzyste i pierwszy z nich jest mniejszy. Ostatecznie
+{|b+2|−m=2|b+2|+m=2p_2|b+2|=2p+2|b+2|=p+1b+2=−p−1∨b+2=p+1{b=−p−3c=2p+2∨{b=p−1c=0
Wobec c≠0 mamy, dla p liczby pierwszej spełniający warunki zadania, trójmian:
f(x)=x2−(p+3)x+2p+2
Odpowiedzi:
- p=2⇒f(x)=x2−5x+6p=3⇒f(x)=x2−6x+8…
- f(2)=22−(p+3)⋅2+2p+2=0CKD
-
- Stały bywalec
- Posty: 443
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 254 razy
- Płeć:
Re: trójmian
Ja dorzucę swój pomysł:
Skoro f(x) ma dwa pierwiastki całkowite to możemy zapisać:
x1+x2=−b ∧x1⋅x2=c. Wtedy mamy:
1+b+c=1−(x1+x2)+x1⋅x2=(x1−1)(x2−1)=p gdzie p jest liczbą pierwszą.
Stąd albo x1−1=1 albo x1−1=−1, ale drugą opcję odrzucamy ze względu na x1=0 co jest sprzeczne z założeniem odnośnie pierwiastków różnych od zera.
Stąd x1=2⇒x2=p+1
Przykładowe wielomiany jak u Jerry
Skoro f(x) ma dwa pierwiastki całkowite to możemy zapisać:
x1+x2=−b ∧x1⋅x2=c. Wtedy mamy:
1+b+c=1−(x1+x2)+x1⋅x2=(x1−1)(x2−1)=p gdzie p jest liczbą pierwszą.
Stąd albo x1−1=1 albo x1−1=−1, ale drugą opcję odrzucamy ze względu na x1=0 co jest sprzeczne z założeniem odnośnie pierwiastków różnych od zera.
Stąd x1=2⇒x2=p+1
Przykładowe wielomiany jak u Jerry
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 106
- Rejestracja: 14 mar 2023, 17:08
- Podziękowania: 47 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: trójmian
1. dlaczego za deltę przyjąłeś własnie to?
2. dlaczego b i c muszą być całkowite?
3. I czy moja uwaga na czerwono jest słuszna czy mylna?
- Jerry
- Expert
- Posty: 3834
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 54 razy
- Otrzymane podziękowania: 2060 razy
Re: trójmian
1. żeby pierwiastek z wyróżnika "się policzył" - jeśli byłby niewymierny, to nie byłoby szans na wymierne pierwiastki,
2. jeśli x1, x2∈Z, to −b=x1+x2∈Z, c=x1⋅x2∈Z. co bardzo fajnie wykorzystał Icanseepeace ,
3. zero nie jest liczbą całkowitą dodatnią, zatem nie widzę potrzeby uwzględniania Twojej uwagi.
Pozdrawiam
2. jeśli x1, x2∈Z, to −b=x1+x2∈Z, c=x1⋅x2∈Z. co bardzo fajnie wykorzystał Icanseepeace ,
3. zero nie jest liczbą całkowitą dodatnią, zatem nie widzę potrzeby uwzględniania Twojej uwagi.
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3834
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 54 razy
- Otrzymane podziękowania: 2060 razy
Re: trójmian
1. Żeby zagwarantować istnienie pierwiastków i .... żebym miał co wyredukować w 9. wierszu rozwiązania,
2. bo pierwiastek kwadratowy jest liczbą nieujemną.
Pozdrawiam
2. bo pierwiastek kwadratowy jest liczbą nieujemną.
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 2104
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 498 razy
Re: trójmian
Założenia:
p1∈Z, p1≠0, p2∈Z, p2≠0 - pierwiastki trójmianu kwadratowego t(x)=x2+bx+c.
t(1)=1+b+c∈P, P - zbiór liczb pierwszych.
Postać iloczynowa trójmianu:
t(x)=(x−p1)⋅(x−p2).
Stąd
t(1)=(1−p1)⋅(1−p2)
KIedy iloczyn liczb: (1−p1),(1−p2) jest liczbą pierwszą ?
Wtedy, gdy jedna z nich jest równa 1 lub −1, a druga jest liczbą pierwszą lub odwrotnie.
Niech 1−p1=1→p1=0 FAŁSZ, bo z założenia p1≠0.
1−p1=−1→p1=2∈Z, 2>0. PRAWDA, czyli jednym z pierwiastków trójmianu t(x) musi być liczba 2,
a drugim pierwiastkiem 1−p2∈P→p2∈P∪{1}.
Takich trójmianów, spełniających warunki zadania jest nieskończenie wiele.
Napiszmy kilka z nich:
t1(x)=(x−2)⋅(x−4)=x2−6x+8.
Sprawdzenie
p1=2∈Z, 1−p2=3→p2=4∈Z.
t1(1)=(1−2)⋅(1−4)=3∈P
Podobnie:
t2(x)=(x−2)⋅(x−3)=x2−5x+6,
t3(x)=(x−2)⋅(x−8)=x2−10x+16.
itd.
p1∈Z, p1≠0, p2∈Z, p2≠0 - pierwiastki trójmianu kwadratowego t(x)=x2+bx+c.
t(1)=1+b+c∈P, P - zbiór liczb pierwszych.
Postać iloczynowa trójmianu:
t(x)=(x−p1)⋅(x−p2).
Stąd
t(1)=(1−p1)⋅(1−p2)
KIedy iloczyn liczb: (1−p1),(1−p2) jest liczbą pierwszą ?
Wtedy, gdy jedna z nich jest równa 1 lub −1, a druga jest liczbą pierwszą lub odwrotnie.
Niech 1−p1=1→p1=0 FAŁSZ, bo z założenia p1≠0.
1−p1=−1→p1=2∈Z, 2>0. PRAWDA, czyli jednym z pierwiastków trójmianu t(x) musi być liczba 2,
a drugim pierwiastkiem 1−p2∈P→p2∈P∪{1}.
Takich trójmianów, spełniających warunki zadania jest nieskończenie wiele.
Napiszmy kilka z nich:
t1(x)=(x−2)⋅(x−4)=x2−6x+8.
Sprawdzenie
p1=2∈Z, 1−p2=3→p2=4∈Z.
t1(1)=(1−2)⋅(1−4)=3∈P
Podobnie:
t2(x)=(x−2)⋅(x−3)=x2−5x+6,
t3(x)=(x−2)⋅(x−8)=x2−10x+16.
itd.
-
- Stały bywalec
- Posty: 443
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 254 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 443
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 254 razy
- Płeć:
Re: trójmian
Czyli nie jest to suma zbiorów a bardziej dodawanie liczby rzeczywistej do każdego elementu pewnego zbioru.
Wydaje mi się, że lepszym oznaczeniem będzie tutaj:
1+P
rozumiane w sensie dodawania Minkowskiego
-
- Fachowiec
- Posty: 2104
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 498 razy
Re: trójmian
Można, to działanie określić jako sumę H. Minkowskiego i zapisać P+{1}.
Lub opisać jako zbiór liczb pierwszych powiększonych o liczbę 1.
Dziękuję za zwrócenie uwagi.
Lub opisać jako zbiór liczb pierwszych powiększonych o liczbę 1.
Dziękuję za zwrócenie uwagi.