Układ równań
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Układ równań
Dowolną metodą rozwiązać układ równań:
\( \begin{cases} x' = 2y - x \\
y' = 4y - 3x + \frac{e^{3t}}{e^{2t}+1} \end{cases} \)
\( \begin{cases} x' = 2y - x \\
y' = 4y - 3x + \frac{e^{3t}}{e^{2t}+1} \end{cases} \)
-
- Fachowiec
- Posty: 1626
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: Układ równań
Preferuję metodę diagonalizacji macierzy układu.
Proszę zajrzeć tutaj
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=100453
W razie trudności proszę o kontakt.
Proszę zajrzeć tutaj
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=100453
W razie trudności proszę o kontakt.
Re: Układ równań
Nie ma jakiejś łatwiejszej metody xD? Wydaje mi się to strasznie skomplikowane. Dało by się jakoś wyliczyć coś z pierwszego równania i podstawić do drugiego tak jak z normalnymi układami równań?
Może na prostszym przykładzie:
\( \begin{cases} x' = 2x + 4y - 8 \\
y' = 3x + 6y \end{cases} \)
Może na prostszym przykładzie:
\( \begin{cases} x' = 2x + 4y - 8 \\
y' = 3x + 6y \end{cases} \)
-
- Fachowiec
- Posty: 1626
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 424 razy
Re: Układ równań
\( \begin{cases} x' = 2x + 4y - 8 \\
y' = 3x + 6y \end{cases} \)
Na przykład pierwsze równanie mnożymy przez 3 drugie przez -2 i dodajemy równania stronami:
\( 3x' -2y' = 24 \)
Stąd
\( y' = \frac{3}{2}x' -24 \ \ (1) \)
\( y" = \frac{3}{2}x" \ \ (2) \)
Obliczamy na przykład drugą pochodną z drugiego równania:
\( y" = 3x' + 6y' \)
Stąd
\( x' = \frac{1}{3}(y" - 6y') \ \ (3) \)
Podstawiamy równania \( (1), (2) \) do równania \( (3) \)
\( x' = \frac{1}{3}\left(\frac{3}{2} x" - 9x' +72\right ) \)
\( x' = 3x" -3x' + 24 \)
\( 3x" - 4x' +24 = 0 \)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu - niejednorodne, z którego wyznaczamy funkcję \( x(t). \)
Funkcję \( y(t) \) znajdujemy z równania \( y" = \frac{3}{2}x". \)
y' = 3x + 6y \end{cases} \)
Na przykład pierwsze równanie mnożymy przez 3 drugie przez -2 i dodajemy równania stronami:
\( 3x' -2y' = 24 \)
Stąd
\( y' = \frac{3}{2}x' -24 \ \ (1) \)
\( y" = \frac{3}{2}x" \ \ (2) \)
Obliczamy na przykład drugą pochodną z drugiego równania:
\( y" = 3x' + 6y' \)
Stąd
\( x' = \frac{1}{3}(y" - 6y') \ \ (3) \)
Podstawiamy równania \( (1), (2) \) do równania \( (3) \)
\( x' = \frac{1}{3}\left(\frac{3}{2} x" - 9x' +72\right ) \)
\( x' = 3x" -3x' + 24 \)
\( 3x" - 4x' +24 = 0 \)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu - niejednorodne, z którego wyznaczamy funkcję \( x(t). \)
Funkcję \( y(t) \) znajdujemy z równania \( y" = \frac{3}{2}x". \)
Re: Układ równań
Odnośnie tej metody, to czym się różni \( \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 \\ 0 \end{bmatrix} \)janusz55 pisze: ↑25 sie 2023, 11:08 Preferuję metodę diagonalizacji macierzy układu.
Proszę zajrzeć tutaj
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=100453
W razie trudności proszę o kontakt.
od rozwiązywania \( x' = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\
3 & 6\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} -8 \\
0\end{bmatrix}\)?
Re: Układ równań
Ale nie w tym zadaniu. Gdyby były 2 osobne zadania jedno z tym pierwszym a drugie z drugim. Czym by różniło się ich rozwiązanie?
Re: Układ równań
ahh, przepraszam w takich zadaniach zawsze mieliśmy dopisane, że \( x(t) = { x_1(t) \choose x_2(t)} \) i rozumiem, że to już byłoby rozwiązywane tak samo jak z \( \begin{bmatrix} x' \\ y'\end{bmatrix}\)?
Czyli takie zadnia:
1)
\( \begin{cases} x' = 2y - x \\
y' = 4y - 3x + \frac{e^{3t}}{e^{2t}+1} \end{cases} \)
2)
\( x' = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\
3 & 6\end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} -8 \\
0\end{bmatrix}\), gdzie \( x(t) = { x_1(t) \choose x_2(t)} \)
można rozwiązywać taką samą metodą?