Centralne twierdzenie graniczne

[maciek42]

Czasy obsługi ludzi w pewnym urzędzie są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych z wartością oczekiwaną 10 minut. Człowiek wychodzi zadowolony, gdy czas obsługi nie przekracza 20 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że co najmniej 15 spośród 100 ludzi będzie niezadowolonych z obsługi?

Próbowałem podejść do tego w ten sposób, ale nie wiem, na ile jest on trafny.
Ti- średni czas obsługi "i-tego" człowieka
\(\mathbb{E}\)Ti=10=\(\frac{1}{\lambda}\) czyli \(\lambda\)=\(\frac{1}{10}\)
Zatem T ma rozkład wykładniczy z powyższą lambdą.
pi- prawdopodobieństwo, że "i-ty" człowiek będzie niezadowolony
pi=P(Ti>20) i tutaj dzięki funkcji gęstości przy rozkładzie wykładniczym wyszło mi \(\frac{1}{e^2}\)
Następnie określiłem Xi jako zmienną losową, która przyjmuje wartość 1, kiedy "i-ty" człowiek jest niezadowolony i wartość 0 gdy jest zadowolony.
\(\mathbb{E}\)Xi=\(\frac{1}{e^2}\), \(\mathbb{E}\)Xi^2=\(\frac{1}{e^2}\), VarXi=\(\frac{e^2-1}{e^4}\)
No i następnie chciałem policzyć P(\(\sum_{i=1}^{100}Xi\)\(\geq\)15)=P(\(\frac{\sum_{i=1}^{100}Xi-100*\frac{1}{e^2}}{\sqrt{100*\frac{e^2-1}{e^4}}}\) \(\geq\) \(\frac{15-100*\frac{1}{e^2}}{\sqrt{100*\frac{e^2-1}{e^4}}}\) ) itd. czy to jest dobry tok myslenia, czy kompletnie nie? z góry dzięki za pomoc

[janusz55]

Rozwiązanie
Zakładamy, że czasy obsługi ludzi w pewnym urzędzie są niezależnymi zmiennymi losowymi: \( T_{1}, T_{2}, \ \ ... \ \ ,T_{100} \) o jednakowym rozkładzie wykładniczym z wartością średnią \( E(T_{i}) = 10 \ \ min. \)

Ponieważ wariancja tego rozkładu \( \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{10^2}\frac{1}{min^2}\) jest skończona i liczba osób \( n =100, \ \ ( n> 30)\) jest wystarczająco duża - możemy skorzystać z CTG Lindenberga-Levy'ego.

W tym celu najpierw obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia \( p_{i} \), że \( i-ta \ \ osoba,\ \ i=1,2,...,100 \) nie będzie zadowolona z obsługi urzędu:
\( p_{i} = Pr(\{T_{i}> 20 \ \ min\})= \int_{20}^{\infty} \frac{1}{10}e^{-\frac{1}{10}t}dt =... e^{-2} = \frac{1}{e^2} \)(obliczono poprawnie).

\( X_{i} = \begin{cases} 1 \ \ \text{jeśli i-ta osoba nie jest zadowolona z obługi} \\ 0 \ \ \text{jeśli i-ta osoba jest zadowolona z obsługi} \end{cases} \)

Stąd

\( Pr\left(\left\{\sum_{i=1}^{100} X_{i} \geq 15 \right\}\right) = 1 - Pr\left(\left\{\sum_{i=1}^{100} X_{i}< 15 \right\}\right ) = 1 - Pr\left (\left\{Z < \frac{15 -100\cdot \frac{1}{e^2}}{\sqrt{100}\cdot \frac{1}{10}} \right\}\right) \approx 1 -\phi(1,4665) \approx 0,07126.\)



(Każdej z osób \( X_{i}, i =1,2,...,100 \) przyporządkowany jest niezależnie od innych osób - czas jej obsługi w urzędzie).

Program R

Kod: Zaznacz cały

> P = 1 - pnorm(1.4665)
> P
[1] 0.07125606

(lub z tablic standaryzowanego rozkładu normalnego).

Odpowiedź: prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej \( 15 \) osób nie będzie zadowolonych z obsługi urzędu wynosi około \( 0, 07126.\)