Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich...
Dla dodatnich \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) zachodzi
\[\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\]
i równość dla \(a_1=a_2=\ldots=a_n\).
Pozostaje wykorzystać założenie: \(a_1+a_2+\ldots+a_n=n\)
Pozdrawiam
\[\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\]
i równość dla \(a_1=a_2=\ldots=a_n\).
Pozostaje wykorzystać założenie: \(a_1+a_2+\ldots+a_n=n\)
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich...
\[\begin{cases}\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\\a_1+a_2+\ldots+a_n=n\end{cases}\So \frac{n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\\
\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\le1\qquad|^n\\
a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n\le1\\ CKD\]
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich...
Tę konkretną nierówność, czy nierówność Cauchy'ego o średnich?
- Po co utrudniać sobie życie, jeśli jest doskonałe, proste narzędzie!
- Jeden z przyjaźniejszych dowodów nierówności Cauchy'ego znajdziesz TU - możesz go implementować do danego problemu